解説

方針・初手

$2x^4+7x^3+3x^2+2x-6$ を $2x+1$ で割るので、整式の割り算を順に行えばよい。

最高次の項どうしを割って、商の各項を上から決めていく。

解法1

まず、最高次の項について

$$ \frac{2x^4}{2x}=x^3 $$

であるから、商の最初の項は $x^3$ である。

そこで、

$$ (2x+1)x^3=2x^4+x^3 $$

をもとの式から引くと、

$$ \begin{aligned} &(2x^4+7x^3+3x^2+2x-6)-(2x^4+x^3) \\ &=6x^3+3x^2+2x-6 \end{aligned} $$

次に、

$$ \frac{6x^3}{2x}=3x^2 $$

であるから、商に $3x^2$ を加える。

すると、

$$ (2x+1)3x^2=6x^3+3x^2 $$

であり、これを引くと

$$ \begin{aligned} &(6x^3+3x^2+2x-6)-(6x^3+3x^2) \\ &=2x-6 \end{aligned} $$

さらに、

$$ \frac{2x}{2x}=1 $$

であるから、商に $1$ を加える。

すると、

$$ (2x+1)\cdot 1=2x+1 $$

であり、これを引くと

$$ \begin{aligned} &(2x-6)-(2x+1) \\ &=-7 \end{aligned} $$

したがって、

$$ 2x^4+7x^3+3x^2+2x-6=(2x+1)(x^3+3x^2+1)-7 $$

となる。

解説

整式の割り算では、毎回「その時点での最高次の項」を $2x+1$ の最高次の項 $2x$ で割って、商の次の項を決めるのが基本である。

この問題では途中で $x$ の項が商に現れないので、商は $x^3+3x^2+1$ となる。$x$ の項がないことを落とさずに処理することが重要である。

答え

商は

$$ x^3+3x^2+1 $$

余りは

$$ -7 $$

である。