基礎問題集
数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題3 解説
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解説
方針・初手
$x^2+ax+1$ で割ったときの余りが $0$ になればよい。したがって
$$ x^2\equiv -ax-1 \pmod{x^2+ax+1} $$
を用いて、$x^4+x^2+b$ を $x^2+ax+1$ で割ったときの余りを求める。
解法1
$x^2+ax+1$ を法として
$$ x^2\equiv -ax-1 $$
であるから、
$$ x^4=(x^2)^2\equiv (-ax-1)^2 =a^2x^2+2ax+1 $$
となる。さらに $x^2\equiv -ax-1$ を代入すると、
$$ x^4\equiv a^2(-ax-1)+2ax+1 =(-a^3+2a)x+(1-a^2) $$
である。
したがって
$$ x^4+x^2+b \equiv {(-a^3+2a)-a}x+{(1-a^2)-1+b} $$
すなわち
$$ x^4+x^2+b \equiv (-a^3+a)x+(b-a^2) $$
となる。
これが $x^2+ax+1$ で割り切れるためには、余りが恒等的に $0$ であればよいから、
$$ -a^3+a=0,\qquad b-a^2=0 $$
を満たす必要がある。よって
$$ a(a^2-1)=0 $$
より
$$ a=0,\ 1,\ -1 $$
であり、そのとき
$$ b=a^2 $$
だから、
**(i)**
$a=0$ のとき
$$ b=0 $$
**(ii)**
$a=1$ のとき
$$ b=1 $$
**(iii)**
$a=-1$ のとき
$$ b=1 $$
となる。
解説
割り切れる条件は、割った余りが $0$ になることである。二次式 $x^2+ax+1$ で割ると余りは一次式以下になるので、$x^2\equiv -ax-1$ を使って高次の項を落としていけばよい。
この問題では、最後に $x$ の係数と定数項がともに $0$ になる条件を立てれば終わる。因数分解を直接置く方法でも解けるが、剰余の考え方を使う方が見通しがよい。
答え
$$ (a,b)=(0,0),\ (1,1),\ (-1,1) $$