解説

方針・初手

2つの多項式を $f(x)=x^2+ax=x(x+a)$ で割ったときの余りが等しいということは，その差が $f(x)$ で割り切れるということである。

したがって，まず

$$ \bigl(x^3-x^2-x+1\bigr)-\bigl(x^2-2x+1\bigr) $$

を整理し，それが $x(x+a)$ で割り切れる条件を調べればよい。

解法1

与えられた2つの多項式を

$$ P(x)=x^3-x^2-x+1,\qquad Q(x)=x^2-2x+1 $$

とおく。

余りが等しいので，$P(x)-Q(x)$ は $f(x)$ で割り切れる。

まず差を計算すると，

$$ \begin{aligned} P(x)-Q(x) &=(x^3-x^2-x+1)-(x^2-2x+1) \\ &=x^3-2x^2+x \\ &=x(x^2-2x+1) \\ &=x(x-1)^2 \end{aligned} $$

である。

一方，

$$ f(x)=x^2+ax=x(x+a) $$

であるから，$f(x)$ が $x(x-1)^2$ を割り切るためには，$x+a$ が $(x-1)^2$ を割り切らなければならない。

$(x-1)^2$ の因数は $x-1$ であるから，

$$ x+a=x-1 $$

でなければならない。よって

$$ a=-1 $$

であり，

$$ f(x)=x^2-x $$

となる。したがって [ア] は

$$ x^2-x $$

である。

次に，

$$ P(x)^3=(x^3-x^2-x+1)^3 $$

を $f(x)=x^2-x$ で割った余りを求める。

$f(x)=x(x-1)$ であるから，余りは1次式 $rx+s$ とおける。これを $R(x)$ とする。

$P(x)$ を直接用いて，

$$ P(0)=1,\qquad P(1)=0 $$

である。したがって

$$ P(0)^3=1,\qquad P(1)^3=0 $$

であるから，余り $R(x)$ は

$$ R(0)=1,\qquad R(1)=0 $$

を満たす1次式である。

$R(x)=rx+s$ とおくと，

$$ s=1,\qquad r+s=0 $$

より

$$ r=-1,\qquad s=1 $$

となる。ゆえに

$$ R(x)=1-x $$

である。

したがって [イ] は

$$ 1-x $$

である。

解説

この問題の核心は，「余りが等しい」ことを「差が割る式で割り切れる」と言い換えることである。

ここで

$$ P(x)-Q(x)=x(x-1)^2 $$

ときれいに因数分解できるので，$f(x)=x(x+a)$ の形と比較すれば $x+a=x-1$ とすぐ分かる。

後半は，$x^2-x=x(x-1)$ で割った余りは $x=0,1$ での値を一致させれば決まる，という見方を使うと計算が非常に簡潔になる。

答え

$$ \text{[ア]}=x^2-x,\qquad \text{[イ]}=1-x $$