解説

方針・初手

$f(x)$ を $x^2+x+1$ で割った余りが $2x-1$ であるから、

$$ f(x)\equiv 2x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

とみなせる。したがって、$f(x)$ を含む式を $x^2+x+1$ で割った余りは、$f(x)$ を $2x-1$ に置き換えて計算すればよい。

また、

$$ x^2+x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x^2\equiv -x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

を用いて次数を下げる。

解法1

$f(x)$ を $x^2+x+1$ で割った余りが $2x-1$ であるから、ある整式 $q(x)$ を用いて

$$ f(x)=(x^2+x+1)q(x)+(2x-1) $$

と表せる。

よって、

$$ f(x)\equiv 2x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

である。

（1） ${f(x)}^2$ の余り

まず

$$ {f(x)}^2 \equiv (2x-1)^2 = 4x^2-4x+1 \pmod{x^2+x+1} $$

である。

ここで

$$ x^2\equiv -x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

より、

$$ 4x^2-4x+1 \equiv 4(-x-1)-4x+1 = -8x-3 $$

となる。これは $1$ 次式であり、すでに余りの形である。

したがって、求める余りは

$$ -8x-3 $$

である。

（2） ${f(x)}^2+af(x)+b$ が $x^2+x+1$ で割り切れるときの $a,b$

${f(x)}^2$ の余りは （1） より $-8x-3$ であり、また

$$ af(x)\equiv a(2x-1)=2ax-a \pmod{x^2+x+1} $$

であるから、

$$ {f(x)}^2+af(x)+b $$

を $x^2+x+1$ で割った余りは

$$ (-8x-3)+(2ax-a)+b $$

すなわち

$$ (2a-8)x+(b-a-3) $$

である。

これが $x^2+x+1$ で割り切れるためには、余りが $0$ でなければならないので、

$$ \begin{cases} 2a-8=0 \\ b-a-3=0 \end{cases} $$

を満たす必要がある。

これを解くと、

$$ a=4,\qquad b=7 $$

となる。

解説

この問題の要点は、「ある整式を $x^2+x+1$ で割った余りが分かっていれば、その整式を含む式の余りも合同式で処理できる」という点である。

特に、$f(x)\equiv 2x-1$ とおけるので、複雑な $f(x)$ の中身は不要である。さらに、$x^2+x+1$ で割る場面では

$$ x^2\equiv -x-1 $$

を使って $2$ 次以上の項を $1$ 次以下に落とすのが典型手法である。

答え

**(1)**

余りは

$$ -8x-3 $$

**(2)**

$$ a=4,\qquad b=7 $$