解説

方針・初手

（1） は因数定理を2回使うのが基本である。まず $f(a)=0$ から $x-a$ が因数であることを出し，さらに $f'(a)=0$ を使って，その商もまた $x-a$ を因数にもつことを示す。

（2） は （1） を $a=1$ に適用して，$f_n(1)=0,\ f_n'(1)=0$ を連立すればよい。

（3） は （2） で求めた $f_n(x)$ を具体化し，$(x-1)^2$ をくくり出す。等比数列型の和を用いると自然に商が出る。

解法1

（1） 必要十分条件の証明を行う。

まず，$f(x)$ が $(x-a)^2$ で割り切れるとする。このとき，ある整式 $g(x)$ が存在して

$$ f(x)=(x-a)^2g(x) $$

と書ける。

よって $x=a$ を代入すれば

$$ f(a)=0 $$

である。

また両辺を微分すると

$$ f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x) $$

となるから，$x=a$ を代入して

$$ f'(a)=0 $$

を得る。したがって，$(x-a)^2$ で割り切れるならば $f(a)=0,\ f'(a)=0$ である。

次に逆を示す。$f(a)=0,\ f'(a)=0$ とする。

$f(a)=0$ であるから，因数定理より $x-a$ は $f(x)$ の因数であり，ある整式 $q(x)$ が存在して

$$ f(x)=(x-a)q(x) $$

と書ける。

これを微分すると

$$ f'(x)=q(x)+(x-a)q'(x) $$

である。ここで $x=a$ を代入すると

$$ f'(a)=q(a) $$

となる。仮定より $f'(a)=0$ だから

$$ q(a)=0 $$

である。したがって，再び因数定理より $x-a$ は $q(x)$ の因数であり，ある整式 $g(x)$ が存在して

$$ q(x)=(x-a)g(x) $$

と書ける。

よって

$$ f(x)=(x-a)q(x)=(x-a)^2g(x) $$

となるので，$f(x)$ は $(x-a)^2$ で割り切れる。

以上より，$f(x)$ が $(x-a)^2$ で割り切れるための必要十分条件は

$$ f(a)=0,\qquad f'(a)=0 $$

である。

**(2)**

$$ f_n(x)=a_nx^{n+1}+b_nx^n+1 $$

が $(x-1)^2$ で割り切れるための必要十分条件は （1） より

$$ f_n(1)=0,\qquad f_n'(1)=0 $$

である。

まず

$$ f_n(1)=a_n+b_n+1=0 $$

である。

次に

$$ f_n'(x)=(n+1)a_nx^n+nb_nx^{n-1} $$

だから，

$$ f_n'(1)=(n+1)a_n+nb_n=0 $$

である。

したがって

$$ \begin{cases} a_n+b_n+1=0\\ (n+1)a_n+nb_n=0 \end{cases} $$

を解けばよい。

第1式から $b_n=-1-a_n$ であるから，これを第2式に代入して

$$ (n+1)a_n+n(-1-a_n)=0 $$

$$ a_n-n=0 $$

となる。よって

$$ a_n=n $$

であり，

$$ b_n=-1-a_n=-(n+1) $$

となる。

したがって

$$ f_n(x)=nx^{n+1}-(n+1)x^n+1 $$

である。

**(3)**

（2） より

$$ f_n(x)=nx^{n+1}-(n+1)x^n+1 $$

である。

ここで

$$ Q_n(x)=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

とおく。

すると

$$ \begin{aligned} (x-1)Q_n(x) &=(x+2x^2+\cdots+nx^n)-(1+2x+\cdots+nx^{n-1})\\ &=nx^n-(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}) \end{aligned} $$

である。さらに両辺にもう一度 $x-1$ を掛けると，

$$ \begin{aligned} (x-1)^2Q_n(x) &=(x-1)\left\{nx^n-(1+x+x^2+\cdots+x^{n-1})\right\} \\ &=nx^{n+1}-nx^n-(x^n-1) \\ &=nx^{n+1}-(n+1)x^n+1 \end{aligned} $$

となる。

これはちょうど $f_n(x)$ であるから，

$$ f_n(x)=(x-1)^2\left(1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\right) $$

である。

よって，$(x-1)^2$ で割ったときの商は

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

である。

解説

この問題の本質は，「$x=a$ が2重根であること」と「$f(a)=0,\ f'(a)=0$」が同値であるという事実にある。

（1） では，$f(a)=0$ からまず1回 $x-a$ を因数として取り出し，そのあと $f'(a)=0$ から商にもさらに $x-a$ が含まれることを示すのが標準的な流れである。

（2） はその事実をそのまま使うだけで，連立一次方程式に帰着する。

（3） は商を直接長除法で求めてもよいが，

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

という形を予想して $(x-1)^2$ を掛けて確認すると計算が整理しやすい。係数が $1,2,\dots,n$ と並ぶのは，等比数列の和を1回ずらして引く操作から自然に現れる。

答え

**(1)**

$f(x)$ が $(x-a)^2$ で割り切れるための必要十分条件は

$$ f(a)=0,\qquad f'(a)=0 $$

である。

**(2)**

$$ a_n=n,\qquad b_n=-(n+1) $$

である。

**(3)**

$(x-1)^2$ で割ったときの商は

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1} $$

である。