基礎問題集
数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題7 解説
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解説
方針・初手
$(x+1)^2$ で割り切れるということは、$x=-1$ が重解であるということである。
したがって、整式 $f(x)=ax^3+bx^2-2$ について、
$$ f(-1)=0,\qquad f'(-1)=0 $$
を用いればよい。
解法1
$f(x)=ax^3+bx^2-2$ とおく。
$(x+1)^2$ で割り切れるので、$x=-1$ は $f(x)$ の重解である。よって
$$ f(-1)=0 $$
かつ
$$ f'(-1)=0 $$
が成り立つ。
まず、
$$ f(-1)=a(-1)^3+b(-1)^2-2=-a+b-2 $$
より、
$$ -a+b-2=0 $$
$$ -a+b=2 $$
すなわち $b=a+2$ である。
次に、$f'(x)$ を求めると
$$ f'(x)=3ax^2+2bx $$
であるから、
$$ f'(-1)=3a-2b=0 $$
となる。
したがって、$a,b$ は
$$ \begin{cases} -a+b=2\\ 3a-2b=0 \end{cases} $$
を満たす。
第2式より
$$ 2b=3a \quad \Longrightarrow \quad b=\frac{3}{2}a $$
これを第1式に代入すると、
$$ -a+\frac{3}{2}a=2 $$
すなわち
$$ \frac{1}{2}a=2 $$
であるから、
$$ a=4 $$
これを $b=\dfrac{3}{2}a$ に代入して
$$ b=6 $$
となる。
解説
$(x+1)^2$ で割り切れるという条件は、単に $x=-1$ を代入して $0$ になるだけでは足りない。2重に因数をもつので、$x=-1$ が重解であることを使い、
$$ f(-1)=0,\qquad f'(-1)=0 $$
の2条件を立てるのが典型である。
この「重解なら微分した式にもその値を代入して $0$ になる」という処理は、因数定理の応用として頻出である。
答え
$$ a=4,\qquad b=6 $$