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数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題8 解説

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数学2式と証明多項式の割り算問題8

解説

$x^2-1=0$ から $x^2=1$ が成り立つので、$x^{99}$ を $x^2-1$ で割った余りは、$x^2$ を $1$ とみなして次数を下げれば求められる。

$x^{99}$ を $x^2-1$ で割った余りを $ax+b$ とおく。

ここで、$x^2-1=0$ の解 $x=1,-1$ を用いる。

まず $x=1$ を代入すると、

$$ 1^{99}=a+b $$

より、

$$ a+b=1 $$

次に $x=-1$ を代入すると、

$$ (-1)^{99}=-a+b $$

より、

$$ -a+b=-1 $$

この2式を解くと、

$$ a=1,\quad b=0 $$

したがって、余りは

$$ x $$

である。

また、$x^{99}=x(x^2)^{49}$ であり、$x^2\equiv 1 \pmod{x^2-1}$ だから、

$$ x^{99}=x(x^2)^{49}\equiv x\cdot 1^{49}=x \pmod{x^2-1} $$

としても同じ結果が得られる。

$x^2-1$ で割る問題では、$x^2=1$ を利用して高次の式を低次に落とすのが基本である。

特に奇数乗の $x^{2n+1}$ は

$$ x^{2n+1}=x(x^2)^n\equiv x $$

となるので、すぐに余りが分かる。

$x$