解説

方針・初手

$x^2-x-6$ は

$$ x^2-x-6=(x+2)(x-3) $$

と因数分解できる。したがって、$P(x)$ を $x^2-x-6$ で割った余りは $1$ 次以下の整式である。

そこで余りを

$$ R(x)=ax+b $$

とおき、与えられた条件 「$x+2$ で割った余りが $3$」 「$x-3$ で割った余りが $-1$」 を余りの定理で式に直す。

解法1

$P(x)$ を $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ で割ったときの余りを $R(x)=ax+b$ とおく。

このとき

$$ P(x)=(x^2-x-6)Q(x)+R(x) $$

と表せる。

ここで $x=-2$ を代入すると、$x^2-x-6=0$ となるから

$$ P(-2)=R(-2) $$

である。問題の条件より、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $3$ なので

$$ R(-2)=3 $$

すなわち

$$ -2a+b=3 $$

を得る。

同様に $x=3$ を代入すると、やはり $x^2-x-6=0$ であるから

$$ P(3)=R(3) $$

である。問題の条件より、$P(x)$ を $x-3$ で割った余りは $-1$ なので

$$ R(3)=-1 $$

すなわち

$$ 3a+b=-1 $$

を得る。

よって、$a,b$ は

$$ \begin{cases} -2a+b=3 \\ 3a+b=-1 \end{cases} $$

を満たす。

2式を引くと

$$ 5a=-4 $$

より

$$ a=-\frac{4}{5} $$

である。

これを $3a+b=-1$ に代入して

$$ 3\left(-\frac{4}{5}\right)+b=-1 $$

$$ -\frac{12}{5}+b=-1 $$

$$ b=\frac{7}{5} $$

したがって余りは

$$ R(x)=-\frac{4}{5}x+\frac{7}{5} $$

である。

解説

$(x+2)(x-3)$ で割る余りは、次数が $2$ 未満であるから $ax+b$ とおける。この形にして、因数 $(x+2)$, $(x-3)$ が $0$ になる値 $x=-2,3$ を代入すると、余りの定理によって余りの係数が決まる。

この種の問題では、割る式を因数分解し、余りを低次式でおいて、根を代入して係数を求めるのが基本方針である。

答え

余りは

$$ -\frac{4}{5}x+\frac{7}{5} $$

である。