解説

方針・初手

$x+1$ で割り切れる条件から、まず剰余定理を用いて $f(-1)=0$ を立てれば $a$ が決まる。

その後、$f(x)^2$ を $x^2-1=(x-1)(x+1)$ で割った余りは高々1次式であるから、$x=1,-1$ における値を用いて余りを確定する。

解法1

$f(x)$ が $x+1$ で割り切れるので、剰余定理より

$$ f(-1)=0 $$

である。

ここで

$$ f(-1)=(-1)^n+2(-1)^{n-1}-a $$

であり、

$$ (-1)^n+2(-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}(-1+2)=(-1)^{n-1} $$

だから

$$ (-1)^{n-1}-a=0 $$

すなわち

$$ a=(-1)^{n-1} $$

となる。

次に、$f(x)^2$ を $x^2-1$ で割った余りを $r(x)$ とすると、$\deg r \leqq 1$ であるから

$$ r(x)=px+q $$

とおける。

まず、$f(-1)=0$ より

$$ r(-1)=f(-1)^2=0 $$

である。したがって

$$ -p+q=0 $$

より

$$ q=p $$

を得る。

また、

$$ f(1)=1+2-a=3-a $$

なので

$$ r(1)=f(1)^2=(3-a)^2 $$

である。$q=p$ を用いると

$$ p+q=2p=(3-a)^2 $$

より

$$ p=q=\frac{(3-a)^2}{2} $$

となる。よって余りは

$$ r(x)=\frac{(3-a)^2}{2}(x+1) $$

である。

ここに $a=(-1)^{n-1}$ を代入する。

**(i)**

$n$ が奇数のとき

$$ a=1 $$

であるから

$$ r(x)=\frac{(3-1)^2}{2}(x+1)=2(x+1)=2x+2 $$

**(ii)**

$n$ が偶数のとき

$$ a=-1 $$

であるから

$$ r(x)=\frac{(3+1)^2}{2}(x+1)=8(x+1)=8x+8 $$

したがって、求める余りは

$$ \begin{cases} 2x+2 & (n\text{ が奇数})\\ 8x+8 & (n\text{ が偶数}) \end{cases} $$

である。

解説

この問題では、まず「$x+1$ で割り切れる」という条件を剰余定理で

$$ f(-1)=0 $$

に言い換えることが重要である。これにより $a$ は直接求まる。

次に、$x^2-1$ で割った余りは1次以下であることに注目する。しかも $x^2-1=(x-1)(x+1)$ であるから、$x=1,-1$ における値を調べれば余りの一次式を決定できる。余りそのものを求めるときは、このように「割る式の根を代入する」方針が有効である。

答え

**(1)**

$$ a=(-1)^{n-1} $$

すなわち

$$ \begin{cases} 1 & (n\text{ が奇数})\\ -1 & (n\text{ が偶数}) \end{cases} $$

**(2)**

$f(x)^2$ を $x^2-1$ で割った余りは

$$ \begin{cases} 2x+2 & (n\text{ が奇数})\\ 8x+8 & (n\text{ が偶数}) \end{cases} $$