解説

方針・初手

まず、与えられた2つの条件を同時に満たす多項式 $R(x)$ を考える。

$x^2+4x-6$ と $2x^2-x-1$ は共通因数をもたないので、$f(x)$ をその積で割った余り $R(x)$ は一意に定まり、$\deg R \le 3$ である。

しかも

$$ R(x)\equiv 4x-3 \pmod{x^2+4x-6}, \qquad R(x)\equiv 5x-4 \pmod{2x^2-x-1} $$

を満たす。したがって、先に $R(x)$ を求めれば、あとは $R(x)$ を $x+5$、$2x^2+11x+6$ で割った余りを求めればよい。

解法1

$R(x)\equiv 4x-3 \pmod{x^2+4x-6}$ より、ある1次式 $ax+b$ を用いて

$$ R(x)=4x-3+(x^2+4x-6)(ax+b) $$

とおける。

ここで

$$ 2x^2-x-1=(2x+1)(x-1) $$

であるから、$x=1,\ -\dfrac12$ において

$$ R(1)=5\cdot 1-4=1, \qquad R\left(-\frac12\right)=5\left(-\frac12\right)-4=-\frac{13}{2} $$

が成り立つ。

まず $x=1$ を代入すると、

$$ R(1)=4\cdot 1-3+(1+4-6)(a+b) =1-(a+b) $$

であるから、

$$ 1-(a+b)=1 $$

より

$$ a+b=0 $$

を得る。

次に $x=-\dfrac12$ を代入する。

$$ 4\left(-\frac12\right)-3=-5, \qquad \left(-\frac12\right)^2+4\left(-\frac12\right)-6=\frac14-2-6=-\frac{31}{4} $$

であるから、

$$ R\left(-\frac12\right) =-5-\frac{31}{4}\left(-\frac a2+b\right) =-\frac{13}{2} $$

となる。よって

$$ -\frac{31}{4}\left(-\frac a2+b\right)=-\frac32 $$

すなわち

$$ -\frac a2+b=\frac{6}{31} $$

である。ここで $b=-a$ を代入すると、

$$ -\frac a2-a=\frac{6}{31} $$

より

$$ -\frac{3a}{2}=\frac{6}{31}, \qquad a=-\frac{4}{31},\quad b=\frac{4}{31} $$

となる。

したがって

$$ R(x)=4x-3+(x^2+4x-6)\left(-\frac{4}{31}x+\frac{4}{31}\right) $$

であり、整理すると

$$ R(x)=\frac{-4x^3-12x^2+164x-117}{31} $$

である。

（1） $x+5$ で割った余り

$x+5$ で割った余りは $R(-5)$ である。

$$ R(-5) =\frac{-4(-5)^3-12(-5)^2+164(-5)-117}{31} $$

$$ =\frac{500-300-820-117}{31} =-\frac{737}{31} $$

よって、求める余りは

$$ -\frac{737}{31} $$

である。

（2） $2x^2+11x+6$ で割った余り

まず分子

$$ -4x^3-12x^2+164x-117 $$

を $2x^2+11x+6$ で割る。

$$ -4x^3-12x^2+164x-117 =(2x^2+11x+6)(-2x+5)+(121x-147) $$

したがって

$$ R(x) =\frac{1}{31}(2x^2+11x+6)(-2x+5)+\frac{121x-147}{31} $$

となるから、求める余りは

$$ \frac{121x-147}{31} $$

である。

解説

この問題の要点は、2つの「余り」の情報を別々に扱うのではなく、両方を同時に満たす4次未満の多項式 $R(x)$ を作ることである。

特に $2x^2-x-1$ は

$$ 2x^2-x-1=(2x+1)(x-1) $$

と因数分解できるので、$x=1,\ -\dfrac12$ における値がすぐ使える。そこから $R(x)=4x-3+(x^2+4x-6)(ax+b)$ の係数 $a,b$ を決めるのが自然な流れである。

答え

**(1)**

$f(x)$ を $x+5$ で割った余りは

$$ -\frac{737}{31} $$

**(2)**

$f(x)$ を $2x^2+11x+6$ で割った余りは

$$ \frac{121x-147}{31} $$