解説

方針・初手

$(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの余りを $R(x)$ とおくと、$\deg R<3$ である。

また、$R(x)$ は $P$ と同じ余りを与えるので、

• $x-1$ で割ったときの余りが $5$
• $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-8$

という条件をそのまま満たす。

そこで、まず $(x+1)^2$ で割ったときの条件から $R(x)$ の形をおき、次に $x=1$ を代入して定数を決める。

解法1

$(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの余りを $R(x)$ とすると、$\deg R<3$ である。

$(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-8$ であるから、$R(x)$ は $x-8$ と $(x+1)^2$ を法として合同である。したがって、ある定数 $a$ を用いて

$$ R(x)=x-8+a(x+1)^2 $$

と書ける。

ここで、$x-1$ で割ったときの余りが $5$ なので

$$ R(1)=5 $$

である。よって

$$ 1-8+a(1+1)^2=5 $$

すなわち

$$ -7+4a=5 $$

より

$$ a=3 $$

となる。

したがって

$$ R(x)=x-8+3(x+1)^2 $$

であり、これを展開すると

$$ R(x)=x-8+3(x^2+2x+1)=3x^2+7x-5 $$

ゆえに、求める余りは

$$ 3x^2+7x-5 $$

である。

解法2

余りを

$$ R(x)=ax^2+bx+c $$

とおく。

$x-1$ で割ったときの余りが $5$ であるから

$$ R(1)=a+b+c=5 $$

である。

また、$(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-8$ であるから、

$$ R(x)-(x-8) $$

は $(x+1)^2$ で割り切れる。よって

$$ R(-1)=-9,\qquad R'(-1)=1 $$

が成り立つ。

まず

$$ R(-1)=a-b+c=-9 $$

また

$$ R'(x)=2ax+b $$

より

$$ R'(-1)=-2a+b=1 $$

を得る。

したがって

$$ \begin{cases} a+b+c=5\\ a-b+c=-9\\ -2a+b=1 \end{cases} $$

これを解くと、上2式の差から

$$ 2b=14 $$

よって

$$ b=7 $$

さらに

$$ -2a+7=1 $$

より

$$ a=3 $$

最後に

$$ 3+7+c=5 $$

より

$$ c=-5 $$

となる。したがって

$$ R(x)=3x^2+7x-5 $$

である。

解説

この問題の要点は、「求める余り」自体を未知の整式としておき、与えられた余りの条件をその整式に移すことである。

特に、$(x+1)^2$ で割った余りが分かっているときは、その差が $(x+1)^2$ の倍数になるという見方が有効である。解法1はその構造を直接使っており、最も自然で計算も短い。

一方、解法2のように $R(-1)$ と $R'(-1)$ を使う見方も、重解をもつ因数に対する典型的な処理として重要である。

答え

求める余りは

$$ 3x^2+7x-5 $$

である。