解説

方針・初手

$x+1$ で割り切れるという条件は、因数定理より $f(-1)=0$ と言い換えられる。まずこれで $a$ を決める。

つぎに、$x^2-1$ で割った余りは高々1次式であるから、余りを $r(x)=px+q$ とおく。$x^2-1=(x-1)(x+1)$ なので、$x=1,-1$ を代入して $r(x)$ を決めればよい。

解法1

$x+1$ で $f(x)=x^n+2x^{n-1}-a$ が割り切れるので、因数定理より

$$ f(-1)=0 $$

である。

ここで

$$ f(-1)=(-1)^n+2(-1)^{n-1}-a $$

であり、

$$ 2(-1)^{n-1}=-2(-1)^n $$

だから

$$ f(-1)=(-1)^n-2(-1)^n-a=-(-1)^n-a $$

となる。したがって

$$ -(-1)^n-a=0 $$

より

$$ a=-(-1)^n=(-1)^{n+1} $$

である。これで （1） は求まった。

つぎに、$f(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りを $r(x)=px+q$ とおく。

$x^2-1$ で割った余りは、$x=1,-1$ において元の多項式と一致するから、

$$ r(-1)=f(-1)=0 $$

である。よって

$$ -p+q=0 $$

すなわち

$$ q=p $$

となる。

また、

$$ r(1)=f(1) $$

であり、

$$ f(1)=1+2-a=3-a $$

であるから、

$$ p+q=3-a $$

となる。ここで $q=p$ を用いると

$$ 2p=3-a $$

したがって

$$ p=\frac{3-a}{2},\quad q=\frac{3-a}{2} $$

である。

さらに （1） の結果 $a=(-1)^{n+1}$ を代入すると、

$$ r(x)=\frac{3-(-1)^{n+1}}{2}x+\frac{3-(-1)^{n+1}}{2} $$

すなわち

$$ r(x)=\frac{3-(-1)^{n+1}}{2}(x+1) $$

となる。

これが （2） の答えである。

解説

この問題の要点は、割り切れる条件を因数定理で $f(-1)=0$ に直すことである。

また、$x^2-1$ で割った余りは1次式 $px+q$ とおけるので、$x=1,-1$ の値を使って係数を決めるのが最も自然である。$x^2-1=(x-1)(x+1)$ という因数分解が見えていれば、余りを求めるために $x=1,-1$ を使う方針が立てやすい。

答え

**(1)**

$$ a=(-1)^{n+1} $$

**(2)**

$$ \frac{3-(-1)^{n+1}}{2}(x+1) $$

なお、同じ内容を偶奇で書けば、

$$ \begin{cases} x+1 & (n\text{ が奇数})\\ 2x+2 & (n\text{ が偶数}) \end{cases} $$

である。