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数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題15 解説

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数学2式と証明多項式の割り算問題15

解説

割り算の条件より

$$ 4x^3-2x^2-9x+7=AB+(x+1) $$

である。したがって、まず $AB$ を求める。

さらに $A+B=2x^2+4x-5$ も与えられているので、$A$ と $B$ の「和」と「積」が分かる。これを使って $A,B$ を決定する。

与えられた条件から

$$ AB=4x^3-2x^2-9x+7-(x+1)=4x^3-2x^2-10x+6 $$

である。

これを因数分解すると、

$$ AB=4x^3-2x^2-10x+6 =2(2x^3-x^2-5x+3) =2(2x-3)(x^2+x-1) $$

となる。

一方、

$$ A+B=2x^2+4x-5 =2(x^2+x-1)+(2x-3) $$

である。

ここで、余りが $x+1$ であるから、割る式 $A$ の次数は $1$ より大きい。よって $A$ は2次式、$B$ は1次式である。

上の和と積の形から、

$$ A=2(x^2+x-1)=2x^2+2x-2,\qquad B=2x-3 $$

と分かる。

実際に確かめると、

$$ AB+(x+1) =(2x^2+2x-2)(2x-3)+(x+1) $$

$$ =4x^3-2x^2-10x+6+x+1 =4x^3-2x^2-9x+7 $$

となり、条件を満たす。

この問題の要点は、割り算の情報を

$$ \text{被除式}=\text{除式}\times\text{商}+\text{余り} $$

の形に直して、$A+B$ と $AB$ をそろえることである。

つまり、未知の多項式 $A,B$ を直接求めようとするのではなく、まず「和」と「積」に着目するのが基本方針である。そこまでできれば、あとは因数分解と次数の条件から自然に決まる。

$$ A=2x^2+2x-2,\qquad B=2x-3 $$