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数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題16 解説

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数学2式と証明多項式の割り算問題16

解説

$(x-1)(x-2)$ で割った余りは 1 次以下の式である。したがって、その余りを $R(x)=px+q$ とおき、$x=1,2$ を代入して $R(1),R(2)$ を決めればよい。

そのために、与えられている 2 つの余りから $f(1)$ と $f(2)$ を求める。

$f(x)$ を $(x-1)^3$ で割ったときの余りが $ax^2+bx+c$ であるから、ある整式 $Q(x)$ を用いて

$$ f(x)=(x-1)^3Q(x)+ax^2+bx+c $$

と書ける。

ここで $x=1$ を代入すると、$(x-1)^3Q(x)$ の部分は $0$ になるので

$$ f(1)=a+b+c $$

である。

また、$f(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが $d$ であるから、剰余定理より

$$ f(2)=d $$

である。

さて、$f(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りを $R(x)=px+q$ とおくと、

$$ R(1)=f(1)=a+b+c,\qquad R(2)=f(2)=d $$

を満たす。

よって

$$ \begin{cases} p+q=a+b+c \\ 2p+q=d \end{cases} $$

となるので、差をとって

$$ p=d-(a+b+c)=d-a-b-c $$

さらに

$$ q=(a+b+c)-p = a+b+c-(d-a-b-c) =2a+2b+2c-d $$

したがって、求める余りは

$$ R(x)=(d-a-b-c)x+2a+2b+2c-d $$

である。

$(x-1)^3$ で割った余りが与えられているとき、まず使いやすいのは $x=1$ の代入である。$(x-1)^3$ が $0$ になるため、$f(1)$ がすぐに求まる。

一方、$(x-1)(x-2)$ で割った余りは 1 次以下であるから、その式は $x=1,2$ における値が分かれば一意に定まる。したがって、この問題の本質は $f(1)$ と $f(2)$ を押さえることにある。

求める余りは

$$ (d-a-b-c)x+2a+2b+2c-d $$

である。