解説

方針・初手

余りは、割る式 $x^2-1$ の次数より低い1次以下の式である。

したがって余りを

$$ r(x)=ax+b $$

とおき、$x^2-1=(x-1)(x+1)$ の根である $x=1,-1$ を用いて $a,b$ を決める。

解法1

求める多項式を

$$ P(x)=(x+1)^{12} $$

とする。

$P(x)$ を $x^2-1$ で割った余りを $r(x)=ax+b$ とおくと、

$$ P(x)=(x^2-1)Q(x)+r(x) $$

と表せる。

ここで $x=1$ を代入すると、$x^2-1=0$ だから

$$ P(1)=r(1) $$

である。よって

$$ (1+1)^{12}=a+b $$

すなわち

$$ 4096=a+b $$

を得る。

次に $x=-1$ を代入すると、同様に

$$ P(-1)=r(-1) $$

である。したがって

$$ (-1+1)^{12}=-a+b $$

より

$$ 0=-a+b $$

を得る。

この2式

$$\begin{aligned} a+b&=4096\\ -a+b&=0 \end{aligned}$$

を解くと、

$$ a=2048,\quad b=2048 $$

である。

したがって余りは

$$ r(x)=2048x+2048=2048(x+1) $$

となる。

解法2

$P(x)=(x+1)^{12}$ を二項定理で展開する。

$$ P(x)=\sum_{k=0}^{12}{}_{12}\mathrm{C}_{k}x^k $$

ここで、$x^2-1$ で割った余りを考えると

$$ x^2\equiv 1 \pmod{x^2-1} $$

であるから、

• 偶数乗 $x^{2m}$ は $1$ に合同
• 奇数乗 $x^{2m+1}$ は $x$ に合同

である。

したがって余りは

$$ \left(\sum_{\text{$k$ 偶数}}{}_{12}\mathrm{C}_{k}\right)+\left(\sum_{\text{$k$ 奇数}}{}_{12}\mathrm{C}_{k}\right)x $$

となる。

$n\geqq 1$ に対して

$$ \sum_{\text{$k$ 偶数}}{}_{n}\mathrm{C}_{k}=\sum_{\text{$k$ 奇数}}{}_{n}\mathrm{C}_{k}=2^{n-1} $$

であるから、$n=12$ のとき

$$ \sum_{\text{$k$ 偶数}}{}_{12}\mathrm{C}_{k}=\sum_{\text{$k$ 奇数}}{}_{12}\mathrm{C}_{k}=2^{11}=2048 $$

である。

よって余りは

$$ 2048+2048x=2048(x+1) $$

となる。

解説

余りの次数に注目して $ax+b$ とおき、割る式の根 $x=1,-1$ を代入して決めるのが最も標準的である。

$2$次式で割った余りを求める問題では、このように「余りを文字でおいて、割る式の根を代入する」方法が非常に有効である。

答え

余りは

$$ 2048(x+1) $$

である。