基礎問題集
数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題18 解説
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解説
方針・初手
$(x+1)(x-2)$ で割った余りは、次数が $2$ 未満の整式であるから、$ax+b$ とおける。
この余りを $R(x)$ とすると、$P(x)$ を $x+1$ や $x-2$ で割った余りは、それぞれ $R(-1),R(2)$ と一致する。したがって、与えられた条件から $a,b$ を求めればよい。
解法1
$P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りを
$$ R(x)=ax+b $$
とおく。
すると、ある整式 $Q(x)$ を用いて
$$ P(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+R(x) $$
と表せる。
ここで $x=-1$ を代入すると、$(x+1)(x-2)$ の項は $0$ になるから、
$$ P(-1)=R(-1) $$
である。問題の条件より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $1$ なので、
$$ R(-1)=1 $$
すなわち
$$ -a+b=1 $$
を得る。
同様に、$x=2$ を代入すると
$$ P(2)=R(2) $$
である。問題の条件より、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $4$ なので、
$$ R(2)=4 $$
すなわち
$$ 2a+b=4 $$
を得る。
よって、
$$ \begin{aligned} -a+b&=1 \\ 2a+b&=4 \end{aligned} $$
より、差をとって
$$ 3a=3 $$
となるから
$$ a=1 $$
である。これを $-a+b=1$ に代入して
$$ -1+b=1 $$
より
$$ b=2 $$
したがって、求める余りは
$$ R(x)=x+2 $$
である。
解法2
$(x+1)(x-2)$ で割った余りを $R(x)$ とする。余りの次数は $2$ 未満であるから、一次式である。
しかも条件より
$$ R(-1)=1,\quad R(2)=4 $$
を満たす。
したがって、$R(x)$ は $2$ 点 $(-1,1)$ と $(2,4)$ を通る一次関数である。
このとき傾きは
$$ \frac{4-1}{2-(-1)}=\frac{3}{3}=1 $$
であるから、
$$ R(x)=x+b $$
とおける。さらに $R(-1)=1$ より
$$ -1+b=1 $$
なので
$$ b=2 $$
である。
よって、余りは
$$ R(x)=x+2 $$
である。
解説
この問題の基本は、剰余の定理を使って「割った余り」を値の条件に言い換えることである。
$(x+1)(x-2)$ で割った余りは一次式 $ax+b$ とおけるので、$x=-1,2$ を代入して連立方程式を作ればよい。一次式は $2$ 点が決まれば一意に定まるので、解法2のように一次関数として考えてもよい。
答え
余りは
$$ x+2 $$
である。