解説

方針・初手

$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ であるから、$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りが $2x$ であるという条件は

$$ P(1)=2,\qquad P(2)=4 $$

と読み替えられる。

与えられた $P(x)$ は $x=1,2,3$ を代入すると多くの項が消える形になっているので、まず $P(1),P(2),P(3),P(0)$ を順に用いて $d,c,b,a$ を決めるのが最も素直である。

解法1

まず、余りが $2x$ であることから

$$ P(1)=2,\qquad P(2)=4 $$

が成り立つ。

$x=1$ を代入する

与式

$$ P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d $$

に $x=1$ を代入すると、$(x-1)$ を含む項はすべて $0$ になるので

$$ P(1)=d $$

である。したがって

$$ d=2 $$

となる。

$x=2$ を代入する

$x=2$ を代入すると、最初の2項は $0$ になり、

$$ P(2)=c(2-1)+d=c+d $$

である。これが $4$ に等しいから

$$ c+d=4 $$

先ほど $d=2$ なので

$$ c=2 $$

となる。

$x=3$ を代入する

条件 $P(3)=4$ を用いる。

$x=3$ を代入すると

$$ P(3)=a\cdot 2\cdot 1\cdot 0+b\cdot 2\cdot 1+c\cdot 2+d =2b+2c+d $$

であるから、

$$ 2b+2c+d=4 $$

ここに $c=2,\ d=2$ を代入すると

$$ 2b+4+2=4 $$

より

$$ 2b=-2 $$

したがって

$$ b=-1 $$

である。

$x=0$ を代入する

条件 $P(0)=1$ を用いる。

$x=0$ を代入すると

$$ P(0)=a(-1)(-2)(-3)+b(-1)(-2)+c(-1)+d $$

すなわち

$$ P(0)=-6a+2b-c+d $$

である。これが $1$ に等しいので

$$ -6a+2b-c+d=1 $$

ここに $b=-1,\ c=2,\ d=2$ を代入すると

$$ -6a+2(-1)-2+2=1 $$

よって

$$ -6a-2=1 $$

したがって

$$ -6a=3 $$

より

$$ a=-\frac12 $$

となる。

$P'(3)$ を求める

求まった値を用いると

$$ P(x)=-\frac12(x-1)(x-2)(x-3)-(x-1)(x-2)+2(x-1)+2 $$

である。

これを微分して $x=3$ を代入する。

まず、$(x-1)(x-2)(x-3)$ の微分を考えると、$x=3$ では $(x-3)=0$ となるので

$$ \frac{d}{dx}\bigl[(x-1)(x-2)(x-3)\bigr]_{x=3} =(3-1)(3-2)=2 $$

また、

$$ \frac{d}{dx}\bigl[(x-1)(x-2)\bigr]=2x-3 $$

より

$$ \frac{d}{dx}\bigl[(x-1)(x-2)\bigr]_{x=3}=3 $$

したがって

$$ P'(3)=-\frac12\cdot 2-1\cdot 3+2 $$

すなわち

$$ P'(3)=-1-3+2=-2 $$

である。

解説

この問題の要点は、「$(x-1)(x-2)$ で割った余り」が与えられたとき、$x=1,2$ を代入すれば余りの情報をそのまま使えることである。

しかも $P(x)$ は $(x-1),(x-2),(x-3)$ を因数にもつ項を含むように作られているため、$x=1,2,3$ を入れると多くの項が消え、係数が順に一つずつ決まる。無理に展開する必要はない。

また、$P'(3)$ も全部展開してから微分するより、因数分解された形のまま $x=3$ を代入して考えた方が計算が軽い。

答え

$$ a=-\frac12,\qquad b=-1,\qquad c=2,\qquad d=2 $$

したがって

$$ \boxed{a=-\frac12,\ b=-1,\ c=2,\ d=2,\ P'(3)=-2} $$

である。