解説

方針・初手

まず、与えられた整式

$$ x^3+3x^2-14x+6 $$

を

$$ x^2-2x $$

で割って、$X$ と $Y$ の関係を整理する。 すると $X$ を $Y$ と $a$ で表せるので、$X,Y$ がともに有理数であることと、$a$ が無理数であることを組み合わせれば、$Y$ がただちに決まる。最後に

$$ Y=a^2-2a $$

に代入して $a$ を求めればよい。

解法1

（1） まず、整式の割り算を行う。

$$ x^3+3x^2-14x+6 $$

を

$$ x^2-2x $$

で割ると、最初の項は $x$ である。

$$ x(x^2-2x)=x^3-2x^2 $$

したがって差をとると、

$$ (x^3+3x^2-14x+6)-(x^3-2x^2)=5x^2-14x+6 $$

次に、$5x^2$ を打ち消すために $+5$ をとる。

$$ 5(x^2-2x)=5x^2-10x $$

よって余りは

$$ (5x^2-14x+6)-(5x^2-10x)=-4x+6 $$

である。したがって、

$$ x^3+3x^2-14x+6=(x^2-2x)(x+5)+(-4x+6) $$

となる。

よって、商は $x+5$、余りは $-4x+6$ である。

（2） 上の式に $x=a$ を代入すると、

$$ X=(a^2-2a)(a+5)+(-4a+6) $$

すなわち

$$ X=Y(a+5)-4a+6 $$

である。これを整理すると、

$$ X-5Y-6=aY-4a=a(Y-4) $$

を得る。

ここで、$X,Y$ はともに有理数であるから、左辺 $X-5Y-6$ は有理数である。したがって右辺 $a(Y-4)$ も有理数である。

一方、$Y-4$ は有理数である。もし $Y-4\neq 0$ なら、$Y-4$ は 0 でない有理数なので、$a(Y-4)$ が有理数であることから $a$ も有理数になってしまう。これは $a$ が無理数であることに反する。

よって、

$$ Y-4=0 $$

すなわち

$$ Y=4 $$

である。

これを

$$ X=Y(a+5)-4a+6 $$

に代入すると、

$$ X=4(a+5)-4a+6=26 $$

となる。したがって、

$$ X=26,\quad Y=4 $$

である。

**(3)**

$Y=4$ より、

$$ a^2-2a=4 $$

すなわち

$$ a^2-2a-4=0 $$

である。これを解くと、

$$ a=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}=1\pm\sqrt{5} $$

となる。

ここで、$\sqrt{5}$ は素数 $5$ の平方根であるから無理数である。また、$a$ は正の無理数であるから、

$$ a=1+\sqrt{5} $$

である。

解説

この問題の核心は、整式の割り算そのものよりも、割り算の結果を $x=a$ に代入して

$$ X-5Y-6=a(Y-4) $$

という形を作ることである。

左辺は $X,Y$ が有理数なので有理数であり、右辺は無理数 $a$ に有理数 $Y-4$ をかけた形である。ここで「0 でない有理数と無理数の積は無理数」という事実を使うと、右辺が有理数になるためには $Y-4=0$ しかない。この発想が決定的である。

答え

**(1)**

商は

$$ x+5 $$

余りは

$$ -4x+6 $$

である。

**(2)**

$$ X=26,\quad Y=4 $$

である。

**(3)**

$$ a=1+\sqrt{5} $$

である。