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数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題21 解説

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数学2式と証明多項式の割り算問題21

解説

$x^2+1$ で割った余りは次数が $1$ 以下の整式になる。

したがって、$x^{2011}$ をそのまま展開して考えるのではなく、$x^2+1=0$ から得られる

$$ x^2\equiv -1 $$

を用いて、$x^{2011}$ を簡単にするのが最も速い。

$x^2+1$ で割ることを考えると、

$$ x^2\equiv -1 $$

が成り立つ。

ここで

$$ x^{2011}=x\cdot (x^2)^{1005} $$

であるから、これに $x^2\equiv -1$ を用いると

$$ x^{2011}\equiv x\cdot (-1)^{1005}=-x $$

となる。

よって、$x^{2011}$ を $x^2+1$ で割った余りは $-x$ である。

この問題では、割る式が $x^2+1$ であるため、$x^2$ を $-1$ に置き換えるのが基本手法である。

余りの次数は割る式の次数より小さいので、余りは $ax+b$ の形になる。実際に計算すると $-x$ まで簡単に落ちる。

指数が大きくても、$x^2\equiv -1$ を使えば一瞬で処理できる典型問題である。

$$ -x $$