解説

方針・初手

$(x-1)$ で割った余りは剰余定理で $x=1$ を代入すればよい。

また、$x^2$ で割った余りは $1$ 次式になるので、$(x+2)^n$ や $P(x)$ を $x^2$ を法として整理すればよい。すなわち、$x^2$ 以上の項を捨てて考える。

最後の $x^2(x-1)$ で割った余りは $2$ 次以下の多項式 $R(x)$ とおき、$x^2$ で割った余りの情報と $x=1$ を代入した情報を合わせて決める。

解法1

**(1)**

$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余り

剰余定理より、$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りは $P(1)$ である。

$$ P(1)=(1+1)(1+2)^n=2\cdot 3^n $$

したがって、余りは

$$ 2\cdot 3^n $$

である。

**(2)**

$(x+2)^n$ を $x^2$ で割ったときの余り

$x^2$ で割ったときの余りは $1$ 次式であるから、$(x+2)^n$ を $x^2$ を法として整理する。

二項定理より

$$ (x+2)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_{n}\mathrm{C}_{k} 2^{n-k} x^k $$

である。$x^2$ で割った余りを求めるので、$x^0$ と $x^1$ の項だけ残せばよい。

$$ (x+2)^n \equiv 2^n + n2^{n-1}x \pmod{x^2} $$

したがって、余りは

$$ n2^{n-1}x+2^n $$

である。

**(3)**

$P(x)$ を $x^2$ で割ったときの余り

$P(x)=(x+1)(x+2)^n$ であり、（2） より

$$ (x+2)^n \equiv 2^n+n2^{n-1}x \pmod{x^2} $$

であるから、

$$ P(x) =(x+1)(x+2)^n \equiv (x+1)(2^n+n2^{n-1}x) \pmod{x^2} $$

これを展開すると

$$ \begin{aligned} (x+1)(2^n+n2^{n-1}x) &=2^n x+2^n+n2^{n-1}x+n2^{n-1}x^2 \\ &\equiv 2^n+\left(2^n+n2^{n-1}\right)x \pmod{x^2} \end{aligned} $$

よって

$$ 2^n+n2^{n-1}=2^{n-1}(n+2) $$

なので、余りは

$$ 2^{n-1}(n+2)x+2^n $$

である。

**(4)**

$P(x)$ を $x^2(x-1)$ で割ったときの余り

余りを $2$ 次以下の多項式

$$ R(x)=ax^2+bx+c $$

とおく。

まず、$x^2(x-1)$ は $x^2$ を因数にもつので、$P(x)$ を $x^2(x-1)$ で割った余りをさらに $x^2$ で割った余りは、$P(x)$ を $x^2$ で割った余りと一致する。したがって （3） より

$$ bx+c=2^{n-1}(n+2)x+2^n $$

であるから、

$$ b=2^{n-1}(n+2), \qquad c=2^n $$

を得る。

次に、$x-1$ でも割り切れる差を考えると、$P(1)=R(1)$ が成り立つ。（1） より

$$ R(1)=P(1)=2\cdot 3^n $$

であるから、

$$ a+b+c=2\cdot 3^n $$

したがって

$$ \begin{aligned} a &=2\cdot 3^n-b-c \\ &=2\cdot 3^n-2^{n-1}(n+2)-2^n \\ &=2\cdot 3^n-2^{n-1}(n+4) \end{aligned} $$

よって求める余りは

$$ \left(2\cdot 3^n-2^{n-1}(n+4)\right)x^2+2^{n-1}(n+2)x+2^n $$

である。

解説

この問題の要点は、割る式に応じて余りの形を正しく見抜くことである。

$x-1$ で割るときは剰余定理で一瞬で求まる。一方、$x^2$ で割るときは余りが $1$ 次式になるので、二項定理で展開して $x^2$ 以上の項を捨てればよい。

最後の $x^2(x-1)$ で割る問題では、余りを $2$ 次式とおき、$x^2$ で割った余りから $bx+c$ を決め、さらに $x=1$ を代入して $a$ を決める。このように、因数ごとの条件を組み合わせるのが典型的な処理である。

答え

**(1)**

余りは

$$ 2\cdot 3^n $$

**(2)**

余りは

$$ n2^{n-1}x+2^n $$

**(3)**

余りは

$$ 2^{n-1}(n+2)x+2^n $$

**(4)**

余りは

$$ \left(2\cdot 3^n-2^{n-1}(n+4)\right)x^2+2^{n-1}(n+2)x+2^n $$