解説

方針・初手

条件 $p(1)=1,\ p(2)=2,\ p(3)=3$ は、$p(x)-x$ が $x=1,2,3$ を解にもつことを意味する。

そこで

$$ q(x)=p(x)-x $$

とおくと、$q(1)=q(2)=q(3)=0$ であり、しかも $p(x)$ は $x^3$ の係数が $1$ の3次式だから、$q(x)$ も最高次係数 $1$ の3次式である。したがって $q(x)$ は $(x-1)(x-2)(x-3)$ に一致する。

解法1

$q(x)=p(x)-x$ とおくと、

$$ q(x)=x^3+ax^2+(b-1)x+c $$

である。

また、条件より

$$ q(1)=q(2)=q(3)=0 $$

だから、$q(x)$ は $x=1,2,3$ を根にもつ。さらに最高次係数は $1$ なので、

$$ q(x)=(x-1)(x-2)(x-3) $$

である。

これを展開すると、

$$ \begin{aligned} (x-1)(x-2)(x-3) &=(x^2-3x+2)(x-3) \\ &=x^3-6x^2+11x-6 \end{aligned} $$

よって

$$ x^3+ax^2+(b-1)x+c=x^3-6x^2+11x-6 $$

であるから、係数比較により

$$ a=-6,\quad b-1=11,\quad c=-6 $$

したがって

$$ a=-6,\quad b=12,\quad c=-6 $$

となる。

次に、$p(x)=x+q(x)$ より

$$ p(x)=x+(x-1)(x-2)(x-3) $$

である。

したがって、$p(x)$ を $x-4$ で割ったときの余りは剰余定理より

$$ p(4)=4+(4-1)(4-2)(4-3)=4+3\cdot2\cdot1=10 $$

である。

また、$p(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったとき、$(x-1)(x-2)(x-3)$ の部分は $(x-1)(x-2)$ で割り切れるから、余りは

$$ x $$

である。

解説

この問題の本質は、$p(1)=1,\ p(2)=2,\ p(3)=3$ をそのまま連立方程式として処理するのではなく、$p(x)-x$ を考える点にある。

すると $1,2,3$ が根になることがすぐ分かり、しかも最高次係数も分かっているので、式全体を一気に決定できる。余りも同じ式を使えば直ちに求まるため、非常に効率がよい。

答え

$$ \text{[ア]}=-6,\quad \text{[イ]}=12,\quad \text{[ウ]}=-6,\quad \text{[エ]}=10,\quad \text{[オ]}=x $$