解説

方針・初手

与えられているのは「ある整式で割った余り」である。 したがって，その割る式の根を代入すると $A(x)$ の値が直接分かる。

また，

$$ x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad x^2+x-6=(x+3)(x-2) $$

であるから，$x=-1,2,-3$ における $A(x)$ の値をまず求める。 さらに，$B(x)=x^3+2x^2-5x-6$ も因数分解して扱う。

解法1

条件[1]より，ある整式 $P(x)$ を用いて

$$ A(x)=(x+1)^2P(x)+(3x+8) $$

と書ける。したがって $x=-1$ を代入すると

$$ A(-1)=3(-1)+8=5 $$

である。よって

$$ \boxed{\text{ア}=5} $$

次に条件[2]より，ある整式 $Q(x)$ を用いて

$$ A(x)=(x^2+x-6)Q(x)+(-x+16) $$

と書ける。ここで $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ であるから，$x=2$ を代入して

$$ A(2)=-2+16=14 $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{イ}=14} $$

（1） $A(x)$ を $x^2-x-2$ で割った余り

$$ x^2-x-2=(x+1)(x-2) $$

である。この式で割った余りを $R(x)=ax+b$ とおくと，

$$ R(-1)=A(-1)=5,\qquad R(2)=A(2)=14 $$

を満たす。したがって

$$ -a+b=5,\qquad 2a+b=14 $$

より

$$ 3a=9\Rightarrow a=3,\qquad b=8 $$

である。よって余りは

$$ R(x)=3x+8 $$

となるから，

$$ \boxed{\text{ウ}=3x+8} $$

（2） $A(x)$ を $B(x)$ で割った余り

まず

$$ B(x)=x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x^2+x-6)=(x+1)(x+3)(x-2) $$

である。

$A(x)$ を $B(x)$ で割った余りを $r(x)$ とすると，$\deg r\leqq 2$ であり，

$$ r(-1)=A(-1)=5,\qquad r(2)=A(2)=14 $$

さらに条件[2]から $x=-3$ を代入して

$$ A(-3)=-(-3)+16=19 $$

より

$$ r(-3)=19 $$

である。

そこで

$$ r(x)=ax^2+bx+c $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} a-b+c&=5,\\ 4a+2b+c&=14,\\ 9a-3b+c&=19 \end{aligned} $$

を満たす。上2式の差より

$$ a+b=3 $$

1式目と3式目の差より

$$ 4a-b=7 $$

したがって

$$ a=2,\qquad b=1,\qquad c=4 $$

となるので，

$$ r(x)=2x^2+x+4 $$

である。よって

$$ \boxed{\text{エ}=2x^2+x+4} $$

次に，$A(x)$ を $B(x)$ で割った商を $S(x)$ とすると

$$ A(x)=B(x)S(x)+(2x^2+x+4) $$

である。

ここで条件[1]より

$$ A(x)=(x+1)^2P(x)+(3x+8) $$

と書けるから，

$$ B(x)S(x)=A(x)-(2x^2+x+4) $$

に代入して

$$ B(x)S(x)=(x+1)^2P(x)+(3x+8)-(2x^2+x+4) $$

となる。右辺を整理すると

$$ (3x+8)-(2x^2+x+4)=-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2) $$

より

$$ B(x)S(x)=(x+1)^2P(x)-2(x+1)(x-2) $$

すなわち

$$ (x+1)(x+3)(x-2)S(x)=(x+1){(x+1)P(x)-2(x-2)} $$

である。両辺を $x+1$ で割って

$$ (x+3)(x-2)S(x)=(x+1)P(x)-2(x-2) $$

ここで $x=-1$ を代入すると

$$ (2)(-3)S(-1)=0-2(-3) $$

すなわち

$$ -6S(-1)=6 $$

より

$$ S(-1)=-1 $$

となる。したがって，商をさらに $x+1$ で割った余りは

$$ \boxed{\text{オ}=-1} $$

（3） 条件を満たすうち次数が最も低い $A(x)$

すでに $A(x)$ を $B(x)$ で割った余りが

$$ 2x^2+x+4 $$

であるから，

$$ A(x)=2x^2+x+4+B(x)T(x) $$

と書ける。

ここで条件[1]を使うために $3x+8$ を引くと，

$$ A(x)-(3x+8)=2x^2-2x-4+B(x)T(x) $$

であり，

$$ 2x^2-2x-4=2(x^2-x-2)=2(x+1)(x-2) $$

だから

$$ A(x)-(3x+8)=(x+1)(x-2){2+(x+3)T(x)} $$

となる。

条件[1]より $A(x)-(3x+8)$ は $(x+1)^2$ で割り切れなければならない。 したがって

$$ 2+(x+3)T(x) $$

が $x+1$ を因数にもつ必要がある。よって

$$ 2+2T(-1)=0 $$

すなわち

$$ T(-1)=-1 $$

である。

最も次数を低くするには，$T(x)$ を定数とすればよく，その条件を満たす最小のものは

$$ T(x)=-1 $$

である。したがって

$$ A(x)=2x^2+x+4-B(x) $$

すなわち

$$ A(x)=2x^2+x+4-(x^3+2x^2-5x-6) $$

より

$$ A(x)=-x^3+6x+10 $$

となる。よって

$$ \boxed{\text{カ}=-x^3+6x+10} $$

解説

この問題の要点は，「余り」が分かると割る式の根での値が分かることである。

特に $(x+1)^2$ で割った余りが分かると，$x=-1$ での値が分かるだけでなく，$(x+1)^2$ で割り切れる条件も使える。 一方，$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ からは $x=2,-3$ での値が得られる。

その結果，$B(x)=(x+1)(x+3)(x-2)$ で割った余りは，3点 $x=-1,2,-3$ を通る2次式として決まる。 最後は，さらに $(x+1)^2$ の条件を課して，商に制約 $T(-1)=-1$ を入れれば最小次数の整式が決まる。

答え

**(1)**

$$ \text{ア}=5,\qquad \text{イ}=14,\qquad \text{ウ}=3x+8 $$

**(2)**

$$ \text{エ}=2x^2+x+4,\qquad \text{オ}=-1 $$

**(3)**

$$ \text{カ}=-x^3+6x+10 $$