解説

方針・初手

割る式が $x^3-x$ であるから、

$$ x^3 \equiv x \pmod{x^3-x} $$

が成り立つ。これを用いると、高次のべきは次数を 2 ずつ下げられる。したがって、$x^{101},x^{100},x^{99}$ をそれぞれ $x,x^2,x$ に直していけばよい。

解法1

$$ x^3 \equiv x \pmod{x^3-x} $$

より、両辺に $x^{n-3}$ を掛ければ $n\geqq 3$ に対して

$$ x^n \equiv x^{n-2} \pmod{x^3-x} $$

である。よって、指数を 2 ずつ下げていくと、

$$ x^{101}\equiv x,\qquad x^{100}\equiv x^2,\qquad x^{99}\equiv x \pmod{x^3-x} $$

となる。

したがって、

$$ 4x^{101}+3x^{100}-2x^{99}+1 \equiv 4x+3x^2-2x+1 =3x^2+2x+1 \pmod{x^3-x} $$

余りは 3 次未満の式でなければならないが、$3x^2+2x+1$ はすでに 2 次式であるから、これがそのまま余りである。

解法2

余りを

$$ R(x)=ax^2+bx+c $$

とおく。$x^3-x=x(x-1)(x+1)$ であるから、元の式

$$ P(x)=4x^{101}+3x^{100}-2x^{99}+1 $$

について、$x=0,1,-1$ を代入すれば $P(x)$ と $R(x)$ の値は一致する。

まず、

$$ P(0)=1 $$

より

$$ R(0)=c=1 $$

である。

次に、

$$ P(1)=4+3-2+1=6 $$

より

$$ R(1)=a+b+c=6 $$

したがって

$$ a+b=5 $$

である。

さらに、

$$ P(-1)=4(-1)^{101}+3(-1)^{100}-2(-1)^{99}+1 =-4+3+2+1=2 $$

より

$$ R(-1)=a-b+c=2 $$

したがって

$$ a-b=1 $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} a+b&=5\\ a-b&=1 \end{aligned} $$

を解くと、

$$ a=3,\qquad b=2 $$

となる。すでに $c=1$ であるから、

$$ R(x)=3x^2+2x+1 $$

である。

解説

この問題の要点は、$x^3-x$ で割るとき

$$ x^3\equiv x $$

が使えることである。これにより、高次のべきは 2 ずつ下げられるので、奇数乗は $x$ に、偶数乗は $x^2$ に整理できる。

また、$x^3-x=x(x-1)(x+1)$ と因数分解できるため、余りを 2 次式とおいて $x=0,1,-1$ を代入して決める方法も典型である。こちらは「余りを未知数で置いて値を一致させる」標準手法である。

答え

余りは

$$ 3x^2+2x+1 $$

である。