解説

方針・初手

商は $2$ 次式、余りは $2$ 次以下の式であるから、まず整式の割り算をそのまま実行するのが最も確実である。

余り $R(x)$ を $a$ を含む形で求め、その $x$ の係数が $1$ であるという条件から $a$ を決定する。

解法1

割られる整式を

$$ P(x)=x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2 $$

割る整式を

$$ D(x)=x^3+x^2+x+1 $$

とおく。

商 $Q(x)$ は $2$ 次式である。

まず最高次の項をそろえるために、$x^2$ を商に立てる。すると

$$ x^2D(x)=x^5+x^4+x^3+x^2 $$

であるから、これを $P(x)$ から引くと

$$ P(x)-x^2D(x)=x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2 $$

となる。

次に、$x^4$ を消すために商に $x$ を立てる。すると

$$ xD(x)=x^4+x^3+x^2+x $$

であるから、さらに引くと

$$ x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2-(x^4+x^3+x^2+x) =(a-2)x^3+x^2+2x+2 $$

となる。

さらに、$(a-2)x^3$ を消すために商に $a-2$ を立てる。すると

$$ (a-2)D(x)=(a-2)x^3+(a-2)x^2+(a-2)x+(a-2) $$

であるから、これを引いて余りを求めると

$$ R(x)=\bigl((a-2)x^3+x^2+2x+2\bigr)-\bigl((a-2)x^3+(a-2)x^2+(a-2)x+(a-2)\bigr) $$

すなわち

$$ R(x)=(3-a)x^2+(4-a)x+(4-a) $$

である。

ここで、$R(x)$ の $x$ の係数が $1$ であるから

$$ 4-a=1 $$

より

$$ a=3 $$

となる。

これを用いると、商は

$$ Q(x)=x^2+x+(a-2)=x^2+x+1 $$

余りは

$$ R(x)=(3-3)x^2+(4-3)x+(4-3)=x+1 $$

である。

実際、

$$ (x^3+x^2+x+1)(x^2+x+1)+(x+1) $$

を計算すると

$$ x^5+2x^4+3x^3+3x^2+3x+2 $$

となり、確かに一致する。

解説

この問題では、余りの条件から係数 $a$ を決めるので、まず余りを $a$ を含んだまま出すのが基本方針である。

割る式が $3$ 次式なので、余りは必ず $2$ 次以下になる。したがって整式の割り算を最後まで行えば、$R(x)$ の各係数が $a$ の式として直接求まる。そこで条件「$x$ の係数が $1$」を使えばよい。

答え

$$ a=3 $$

$$ Q(x)=x^2+x+1 $$

$$ R(x)=x+1 $$