解説

方針・初手

$(x+1)^2$ で割り切れるということは、$x=-1$ が $P(x)$ の重解であることを意味する。したがって

$$ P(-1)=0,\qquad P'(-1)=0 $$

が成り立つ。

また、$x-3$ で割り切れるので

$$ P(3)=0 $$

も成り立つ。これら3つの条件から $a,b,c$ を求める。

解法1

与えられた整式は

$$ P(x)=x^4+x^3-ax^2-bx-c $$

である。

まず、$(x+1)^2$ で割り切れることから $P(-1)=0$ である。よって

$$ P(-1)=(-1)^4+(-1)^3-a(-1)^2-b(-1)-c =1-1-a+b-c =-a+b-c=0 $$

したがって

$$ b=a+c $$

を得る。

次に、$x=-1$ は重解であるから $P'(-1)=0$ も成り立つ。

$$ P'(x)=4x^3+3x^2-2ax-b $$

であるから、

$$ P'(-1)=4(-1)^3+3(-1)^2-2a(-1)-b =-4+3+2a-b =-1+2a-b=0 $$

より

$$ b=2a-1 $$

を得る。

ここで、先ほどの $b=a+c$ と合わせると

$$ a+c=2a-1 $$

すなわち

$$ c=a-1 $$

である。

さらに、$x-3$ で割り切れるので $P(3)=0$ である。したがって

$$ P(3)=3^4+3^3-a\cdot 3^2-b\cdot 3-c =81+27-9a-3b-c =108-9a-3b-c=0 $$

ここに $b=2a-1,\ c=a-1$ を代入すると

$$ 108-9a-3(2a-1)-(a-1)=0 $$

$$ 108-9a-6a+3-a+1=0 $$

$$ 112-16a=0 $$

よって

$$ a=7 $$

である。

したがって

$$ b=2a-1=13,\qquad c=a-1=6 $$

となる。

解説

$(x+1)^2$ で割り切れるという条件を、$x=-1$ が重解であると読み替えるのが重要である。重解の条件は

$$ P(-1)=0,\qquad P'(-1)=0 $$

である。

この問題は、割り切れる条件を因数定理と重解の条件に直して連立方程式として処理する典型問題である。

答え

$$ a=7,\qquad b=13,\qquad c=6 $$