解説

方針・初手

求める余りを $R(x)$ とおくと、割る式が $(x+1)^2(x-1)$ であるから、$R(x)$ は $2$ 次以下の整式である。

また、$F(x)$ と $R(x)$ の差は $(x+1)^2(x-1)$ の倍数であるので、とくに $(x+1)^2$ の倍数でもある。したがって、$R(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りも $2x+1$ になる。

一方、$(x-1)^2$ で割った余りが $x+6$ であることから、少なくとも $x=1$ における値 $F(1)$ は分かる。これを使えば $R(x)$ が定まる。

解法1

$F(x)$ を $(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの余りを $R(x)$ とする。

すると

$$ F(x)-R(x) $$

は $(x+1)^2(x-1)$ の倍数であるから、特に $(x+1)^2$ の倍数である。よって、$F(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りと、$R(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りは一致する。

問題文より、$F(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りは $2x+1$ であるから、

$$ R(x)=2x+1+k(x+1)^2 $$

とおける。ただし $k$ は定数である。実際、$R(x)$ は $2$ 次以下なので、$(x+1)^2$ を掛ける部分は定数倍でよい。

次に、$F(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $x+6$ であるから、

$$ F(1)=1+6=7 $$

である。

また、$F(x)-R(x)$ は $(x-1)$ の倍数でもあるので、

$$ R(1)=F(1)=7 $$

が成り立つ。

そこで

$$ R(1)=2\cdot 1+1+k(1+1)^2=3+4k $$

より、

$$ 3+4k=7 $$

となる。したがって

$$ k=1 $$

である。

よって

$$ R(x)=2x+1+(x+1)^2 $$

すなわち

$$ R(x)=2x+1+x^2+2x+1=x^2+4x+2 $$

となる。

解説

この問題の要点は、求める余り $R(x)$ が

$$ R(x)\equiv 2x+1 \pmod{(x+1)^2} $$

を満たすことと、さらに $x=1$ での値が $F(1)$ と一致することである。

$(x-1)^2$ で割った余りが与えられていても、今回の割る式には $(x-1)$ しか含まれていないので、必要なのは $x=1$ における値だけで十分である。この点を整理できると、未知数は定数 $k$ だけになり、計算が非常に簡潔になる。

答え

求める余りは

$$ x^2+4x+2 $$

である。