解説

方針・初手

係数が左右対称なので，この多項式は逆数変換に対して不変である。実際，

$$ x^4 f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) $$

が成り立つ。この性質から，実数解があればその逆数もまた解になることが期待される。

また，実数解の符号は，$f(c)=0$ を変形して調べるのが初手である。(2)(3) では，実根があるとき根が ${c,1/c,d,1/d}$ の形に並ぶことを用いる。

解法1

（1）

$f(x)$ が $x-c$ で割り切れるとは，$f(c)=0$ であることと同値である。すなわち，

$$ c^4-ac^3+bc^2-ac+1=0 $$

である。これを移項すると，

$$ ac(c^2+1)=c^4+bc^2+1 $$

となる。右辺は $b>0$ より明らかに正であり，$a>0,\ c^2+1>0$ であるから，

$$ c>0 $$

が従う。

次に，この多項式は

$$ x^4 f\left(\frac{1}{x}\right) = x^4\left(\frac{1}{x^4}-a\frac{1}{x^3}+b\frac{1}{x^2}-a\frac{1}{x}+1\right) =1-ax+bx^2-ax^3+x^4 =f(x) $$

を満たす。したがって $c\neq 0$ に対して

$$ f\left(\frac{1}{c}\right) =\frac{1}{c^4}f(c)=0 $$

である。よって $x-\dfrac{1}{c}$ でも割り切れる。

ここで $c\neq 1$ なら，$c,\dfrac{1}{c}$ は異なる 2 つの根であるから，

$$ (x-c)\left(x-\frac{1}{c}\right) $$

で割り切れる。

残るのは $c=1$ の場合である。このとき $f(1)=0$ であり，

$$ f'(x)=4x^3-3ax^2+2bx-a $$

より

$$ f'(1)=4-3a+2b-a=4-4a+2b=2(2-2a+b)=2f(1)=0 $$

となる。したがって $x=1$ は重解であり，$(x-1)^2$ で割り切れる。

以上より，いずれの場合も $f(x)$ は

$$ (x-c)\left(x-\frac{1}{c}\right) $$

で割り切れる。

（2）

$f(x)$ が

$$ f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v) $$

と実数範囲で因数分解できるとする。すると $s,t,u,v$ はすべて実根である。

（1） より，実根はすべて正であり，さらに根 $r$ があれば $\dfrac{1}{r}$ も根である。したがって，重複を込めて適当に並べ替えると，

$$ f(x)=\left(x-c\right)\left(x-\frac{1}{c}\right)\left(x-d\right)\left(x-\frac{1}{d}\right) \qquad (c>0,\ d>0) $$

と書ける。

この右辺を展開すると，$x^3$ の係数は

$$ -\left(c+\frac{1}{c}+d+\frac{1}{d}\right) $$

である。もとの $f(x)=x^4-ax^3+bx^2-ax+1$ と係数比較して，

$$ a=c+\frac{1}{c}+d+\frac{1}{d} $$

を得る。

ここで $c>0,\ d>0$ なので，相加相乗平均より

$$ c+\frac{1}{c}\ge 2,\qquad d+\frac{1}{d}\ge 2 $$

である。よって

$$ a=c+\frac{1}{c}+d+\frac{1}{d}\ge 2+2=4 $$

となる。したがって

$$ a\ge 4 $$

が成り立つ。

（3）

$a=5$ とする。$f(x)$ が実数範囲で

$$ f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v) $$

と因数分解できるとする。

（2） と同様に，正の実数 $c,d$ を用いて

$$ f(x)=\left(x-c\right)\left(x-\frac{1}{c}\right)\left(x-d\right)\left(x-\frac{1}{d}\right) $$

と書ける。ここで

$$ p=c+\frac{1}{c},\qquad q=d+\frac{1}{d} $$

とおくと，$p\ge 2,\ q\ge 2$ であり，

$$ f(x)=(x^2-px+1)(x^2-qx+1) $$

となる。展開して係数比較すると，

$$ p+q=5,\qquad pq+2=b $$

を得る。

$p,q\ge 2$ かつ $p+q=5$ であるから，

$$ 2\le p\le 3,\qquad q=5-p $$

であり，

$$ pq=p(5-p) $$

は $2\le p\le 3$ で動く。したがって

$$ 6\le pq\le \frac{25}{4} $$

となる。よって

$$ 8\le b=pq+2\le \frac{33}{4}=8.25 $$

である。

$b$ は自然数であるから，

$$ b=8 $$

しかありえない。

最後に，$b=8$ が実際に条件を満たすことを確かめる。

$$ x^4-5x^3+8x^2-5x+1 =(x^2-2x+1)(x^2-3x+1) =(x-1)^2(x^2-3x+1) $$

であり，さらに

$$ x^2-3x+1=0 $$

の判別式は

$$ 9-4=5>0 $$

だから，これは実数範囲で因数分解できる。したがって $b=8$ は確かに条件を満たす。

以上より，求める自然数 $b$ は $8$ のみである。

解説

この問題の本質は，$f(x)$ が

$$ x^4 f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) $$

を満たす自己逆数型の多項式である点にある。したがって，実根があればその逆数も根になる。

（1） では，まず $f(c)=0$ を変形して $c>0$ を示すのが重要である。符号が分かると，後の議論で $c+\dfrac{1}{c}\ge 2$ を安心して使える。

（2） では，実根がすべて正で，しかも逆数どうしで組になることから，根を ${c,1/c,d,1/d}$ と置ける。すると $a$ は

$$ c+\frac{1}{c}+d+\frac{1}{d} $$

となり，$x+\dfrac{1}{x}\ge 2$ を 2 回使うだけで $a\ge 4$ が出る。

（3） では，$a=5$ がかなり小さいため，各組の和 $p,q$ がともに $2$ 以上であることと合わせると，$p+q=5$ に強く縛られる。その結果，$b=pq+2$ の取りうる範囲が極端に狭くなり，自然数としては $8$ しか残らない。

答え

**(1)**

$c>0$ であり，$f(x)$ は

$$ (x-c)\left(x-\frac{1}{c}\right) $$

で割り切れる。

**(2)**

$f(x)$ が実数範囲で 4 つの一次式の積に因数分解できるならば，

$$ a\ge 4 $$

である。

**(3)**

求める自然数 $b$ は

$$ b=8 $$

のみである。