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数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題30 解説

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数学2式と証明多項式の割り算問題30

解説

$x^2-1$ で割った余りは次数が $1$ 以下の整式になる。

したがって、$x^{11}+1$ を $x^2-1$ で割った余りを求めるには、$x^2 \equiv 1 \pmod{x^2-1}$ を用いて高次の項を次数 $1$ 以下まで落とせばよい。

$x^2-1$ で割ることを考えると、

$$ x^2 \equiv 1 \pmod{x^2-1} $$

である。

よって、

$$ x^{11}=x\cdot (x^2)^5 \equiv x\cdot 1^5=x \pmod{x^2-1} $$

となる。

したがって、

$$ x^{11}+1 \equiv x+1 \pmod{x^2-1} $$

である。

$x+1$ は次数が $1$ であり、$x^2-1$ で割った余りの条件を満たしているので、これが余りである。

この問題の要点は、$x^2-1$ で割るときに $x^2$ を $1$ とみなせることである。

実際、合同式を使えば高次の項を一気に簡単にできる。余りは「割る式の次数より低い次数」でなければならないので、最後に $x+1$ が次数 $1$ 以下であることを確認すれば十分である。

$x+1$