解説

方針・初手

（1） は重解の定義

$$ (x-k)^2 \text{ で割り切れる} $$

と，条件

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

とを結びつければよい。必要性は因数分解して微分すればよく，十分性はまず因数定理で $f(x)=(x-k)g(x)$ とおいて議論する。

（2） は

$$ f(x)=x^n-ax+a $$

とおき，（1） を用いて

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

の連立条件を立てればよい。その後，$k=0$ の場合と $k\neq 0$ の場合に分けて整理する。

解法1

（1） 必要十分性の証明

まず，$k$ が方程式 $f(x)=0$ の重解であるとする。

このとき定義より，ある整式 $g(x)$ が存在して

$$ f(x)=(x-k)^2g(x) $$

と書ける。したがって

$$ f(k)=0 $$

である。

また両辺を微分すると

$$ f'(x)=2(x-k)g(x)+(x-k)^2g'(x) $$

となるので，$x=k$ を代入して

$$ f'(k)=0 $$

を得る。よって，$k$ が重解ならば

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

が成り立つ。

次に逆を示す。$f(k)=0,\ f'(k)=0$ とする。

$f(k)=0$ であるから，因数定理より，ある整式 $g(x)$ が存在して

$$ f(x)=(x-k)g(x) $$

と書ける。

これを微分すると

$$ f'(x)=g(x)+(x-k)g'(x) $$

である。ここで $x=k$ を代入すると

$$ f'(k)=g(k) $$

となる。仮定より $f'(k)=0$ だから

$$ g(k)=0 $$

である。再び因数定理より，ある整式 $h(x)$ が存在して

$$ g(x)=(x-k)h(x) $$

と書ける。したがって

$$ f(x)=(x-k)g(x)=(x-k)^2h(x) $$

となるので，$f(x)$ は $(x-k)^2$ で割り切れる。よって $k$ は方程式 $f(x)=0$ の重解である。

以上より，

$$ f(k)=0 \text{ かつ } f'(k)=0 $$

は，$k$ が方程式 $f(x)=0$ の重解であるための必要十分条件である。

（2） $k,\ a$ を求める

$$ f(x)=x^n-ax+a $$

とおく。$k$ はこの方程式の重解であるから，（1） より

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

が成り立つ。

まず

$$ f(k)=k^n-ak+a=0 $$

であり，また

$$ f'(x)=nx^{n-1}-a $$

より

$$ f'(k)=nk^{n-1}-a=0 $$

だから

$$ a=nk^{n-1} $$

を得る。これを $f(k)=0$ に代入すると

$$ k^n-nk^n+n k^{n-1}=0 $$

すなわち

$$ (1-n)k^n+n k^{n-1}=0 $$

である。$k^{n-1}$ をくくると

$$ k^{n-1}{n-(n-1)k}=0 $$

となる。したがって，次の 2 つの場合がある。

**(i)**

$k=0$ の場合

このとき

$$ a=nk^{n-1}=0 $$

である。よって

$$ (k,a)=(0,0) $$

を得る。

**(ii)**

$n-(n-1)k=0$ の場合

このとき

$$ k=\frac{n}{n-1} $$

である。したがって

$$ a=nk^{n-1} =n\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1} =\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} $$

となる。

以上より求める値は

$$ (k,a)=(0,0),\ \left(\frac{n}{n-1},\ \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right) $$

である。

解説

（1） の本質は，重解とは「同じ因子 $(x-k)$ を 2 回もつこと」であり，その 1 回目が $f(k)=0$，2 回目が $f'(k)=0$ に対応しているという点にある。十分性の証明では，まず因数定理で $(x-k)$ を 1 回取り出し，さらに $f'(k)=0$ からもう 1 回取り出せることを示すのが基本形である。

（2） では重解条件をそのまま

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

に置き換えるのが最短である。連立後に

$$ k^{n-1}{n-(n-1)k}=0 $$

まで整理できれば，$k=0$ と $k=\dfrac{n}{n-1}$ の 2 通りに自然に分かれる。

答え

**(1)**

$k$ が方程式 $f(x)=0$ の重解であることと，

$$ f(k)=0,\quad f'(k)=0 $$

が成り立つことは同値である。

**(2)**

$$ (k,a)=(0,0),\ \left(\frac{n}{n-1},\ \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right) $$

である。