解説

方針・初手

割り切れる条件は、因数の根を $P(x)$ がもつことに言い換えるのが基本である。

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ であるから、$x^2-4$ で割り切れるための条件は

$$ P(2)=0,\quad P(-2)=0 $$

である。

また、$(x+1)^2$ で割り切れるための条件は、$x=-1$ が重解になることであるから

$$ P(-1)=0,\quad P'(-1)=0 $$

を用いる。

解法1

まず

$$ P(x)=x^n-ax^2-bx+2 $$

であり、$n$ は $3$ 以上の奇数である。

$x^2-4$ で割り切れるとき

$x^2-4=(x-2)(x+2)$ より、

$$ P(2)=0,\quad P(-2)=0 $$

が必要十分である。

それぞれ計算すると、

$$ P(2)=2^n-4a-2b+2 $$

$$ P(-2)=(-2)^n-4a+2b+2 $$

である。$n$ は奇数なので $(-2)^n=-2^n$ であるから、

$$ P(-2)=-2^n-4a+2b+2 $$

となる。

よって

$$ 2^n-4a-2b+2=0 $$

$$ -2^n-4a+2b+2=0 $$

を連立して解けばよい。

2式を加えると、

$$ -8a+4=0 $$

より

$$ a=\frac12 $$

を得る。

これを

$$ 2^n-4a-2b+2=0 $$

に代入すると、

$$ 2^n-2-2b+2=0 $$

すなわち

$$ 2^n-2b=0 $$

より

$$ b=2^{n-1} $$

である。

したがって、このとき

$$ a=\frac12,\quad b=2^{n-1} $$

である。

$(x+1)^2$ で割り切れるとき

$(x+1)^2$ で割り切れるためには、$x=-1$ が重解であればよいから、

$$ P(-1)=0,\quad P'(-1)=0 $$

を用いる。

まず

$$ P(-1)=(-1)^n-a+b+2 $$

である。$n$ は奇数なので $(-1)^n=-1$ であるから、

$$ P(-1)=-1-a+b+2=1-a+b $$

となる。したがって

$$ 1-a+b=0 $$

すなわち

$$ b=a-1 $$

である。

次に

$$ P'(x)=nx^{n-1}-2ax-b $$

であるから、

$$ P'(-1)=n(-1)^{n-1}+2a-b $$

となる。$n-1$ は偶数なので $(-1)^{n-1}=1$ であり、

$$ P'(-1)=n+2a-b $$

である。よって

$$ n+2a-b=0 $$

が成り立つ。

ここに $b=a-1$ を代入すると、

$$ n+2a-(a-1)=0 $$

$$ n+a+1=0 $$

より

$$ a=-n-1 $$

となる。

さらに

$$ b=a-1=-n-2 $$

である。

したがって、このとき

$$ a=-n-1,\quad b=-n-2 $$

である。

解説

$x^2-4$ のように一次式の積に分解できるときは、それぞれの根を代入して $0$ になる条件を立てればよい。

一方、$(x+1)^2$ のように重解をもつ因数については、単に $P(-1)=0$ だけでは不十分で、微分して $P'(-1)=0$ も必要になる。この「重解なら関数値も導関数も $0$」という考え方が重要である。

また、この問題では $n$ が奇数であることから

$$ (-2)^n=-2^n,\quad (-1)^n=-1,\quad (-1)^{n-1}=1 $$

が使える点が計算の要所である。

答え

$$ \text{(あ)}=\frac12,\quad \text{(い)}=2^{n-1},\quad \text{(う)}=-n-1,\quad \text{(え)}=-n-2 $$