解説

方針・初手

割る式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ は

$$ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) $$

を用いると扱いやすい。これより、この割る式を法としては $x^5\equiv 1$ とみなせるので、指数を $5$ で割った余りに着目する。

解法1

$$ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) $$

であるから、$x^5-1$ は $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割り切れる。したがって

$$ x^5\equiv 1 \pmod{x^4+x^3+x^2+x+1} $$

が成り立つ。

ここで、

$$ 2023=5\cdot 404+3 $$

であるから、

$$ x^{2023}=x^{5\cdot 404+3}=(x^5)^{404}x^3\equiv 1^{404}x^3=x^3 \pmod{x^4+x^3+x^2+x+1} $$

となる。

よって、

$$ x^{2023}-1\equiv x^3-1 \pmod{x^4+x^3+x^2+x+1} $$

である。

$x^3-1$ は次数が $3$ であり、割る式の次数 $4$ より小さいので、これがそのまま余りである。

解法2

割る式を

$$ f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 $$

とおく。$f(x)=0$ の解は $1$ でない $5$ 乗根である。すなわち、$f(\alpha)=0$ なら

$$ \alpha^5=1,\quad \alpha\ne 1 $$

が成り立つ。

いま、$x^{2023}-1$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とすると、$\deg r\leqq 3$ であり、$f(\alpha)=0$ を満たすすべての $\alpha$ に対して

$$ r(\alpha)=\alpha^{2023}-1 $$

である。

ここで

$$ 2023\equiv 3\pmod 5 $$

より、$\alpha^5=1$ を用いて

$$ \alpha^{2023}=\alpha^3 $$

となるから、

$$ r(\alpha)=\alpha^3-1 $$

である。

したがって、$r(x)-(x^3-1)$ は $f(x)$ の4個の相異なる根をすべてもつ。しかし $r(x)-(x^3-1)$ の次数は高々 $3$ であるから、これは零多項式でなければならない。よって

$$ r(x)=x^3-1 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$x^4+x^3+x^2+x+1$ を見たら

$$ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) $$

をすぐに結びつけることである。すると $x^5\equiv 1$ が使え、巨大な指数 $2023$ も $5$ で割った余り $3$ だけを見ればよい。

多項式の余りの問題では、割る式と関連する恒等式を見つけて、高次のべきの周期性を作るのが典型的な処理である。

答え

余りは

$$ x^3-1 $$

である。