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数学2 式と証明「多項式の割り算」の問題34 解説

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数学2式と証明多項式の割り算問題34

解説

$x^2+x+1$ で割るので、これと深く関係する

$$ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) $$

を用いて、$x^3$ を簡単な式に直していくのが自然である。

$$ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) $$

より、$x^3-1$ は $x^2+x+1$ で割り切れる。したがって、

$$ x^3 \equiv 1 \pmod{x^2+x+1} $$

である。

よって、$101=3\cdot 33+2$ であるから、

$$ x^{101}=x^{99}x^2=(x^3)^{33}x^2 \equiv x^2 \pmod{x^2+x+1} $$

となる。

したがって、

$$ x^{101}-x \equiv x^2-x \pmod{x^2+x+1} $$

である。

ただし、余りは次数が $2$ 未満でなければならないので、さらに $x^2$ を整理する。

$$ x^2+x+1 \equiv 0 \pmod{x^2+x+1} $$

より、

$$ x^2 \equiv -x-1 \pmod{x^2+x+1} $$

である。これを代入すると、

$$ x^2-x \equiv (-x-1)-x=-2x-1 $$

となる。

したがって、求める余りは

$$ -2x-1 $$

である。

この問題の要点は、$x^2+x+1$ を見たら

$$ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) $$

を思い出すことである。これにより $x^3\equiv 1$ が使え、指数 $101$ を $3$ で割った余りに着目して簡単に処理できる。

最後に、余りは必ず次数が割る式の次数より小さい、すなわち一次以下に直す必要がある点に注意する。

$$ -2x-1 $$