解説

方針・初手

割る数

$$ n^2-2n+2 $$

は

$$ n^2-2n+2=(n-1)^2+1 $$

と変形できる。

そこで $a=n-1$ とおくと，求めるのは $a^3$ を $a^2+1$ で割ったときの商と余りになる。これを割り算の形に直せばよい。

解法1

$a=n-1$ とおくと，$n\geqq 2$ より $a\geqq 1$ である。

このとき

$$ (n-1)^3=a^3,\qquad n^2-2n+2=a^2+1 $$

であるから，$a^3$ を $a^2+1$ で割ることを考える。

まず

$$ a^3=a(a^2+1)-a $$

であるが，これでは余りが $-a$ となってしまい不適切である。そこで商を 1 だけ減らすと，

$$ a^3=(a-1)(a^2+1)+(a^2-a+1) $$

と書ける。

実際，右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (a-1)(a^2+1)+(a^2-a+1) &=a^3-a^2+a-1+a^2-a+1 \\ &=a^3 \end{aligned} $$

となる。

ここで余り $a^2-a+1$ について，

$$ 0\leqq a^2-a+1<a^2+1 $$

が成り立つ。左の不等式は $a\geqq 1$ より

$$ a^2-a+1=a(a-1)+1\geqq 1>0 $$

であることから分かる。右の不等式は $a\geqq 1$ より $-a<0$ であることから確かに成り立つ。

したがって，商は $a-1$，余りは $a^2-a+1$ である。

最後に $a=n-1$ を戻すと，

$$ a-1=(n-1)-1=n-2 $$

$$ a^2-a+1=(n-1)^2-(n-1)+1=n^2-3n+3 $$

である。

解説

割る数をそのまま扱うよりも，

$$ n^2-2n+2=(n-1)^2+1 $$

と見て，$(n-1)$ をひとまとまりにするのが核心である。

そのうえで $a^3$ を $a^2+1$ で割る形に直せば，商はまず $a$ が見える。ただしそのままだと余りが負になるので，商を 1 つ下げて余りを正に直すのがポイントである。

答え

$$ \boxed{⑦=n-2},\qquad \boxed{⑧=n^2-3n+3} $$