解説

方針・初手

常用対数の基本公式

$$ \log_{10}(ab)=\log_{10}a+\log_{10}b,\qquad \log_{10}\left(\frac{a}{b}\right)=\log_{10}a-\log_{10}b $$

を用いて、与えられた $\log_{10}2,\log_{10}3$ から $\log_{10}5,\log_{10}6,\log_{10}8$ を表す。

（2） では、$\log_{10}7$ と $\log_{10}6,\log_{10}8$ との差を対数の差に直し、その大小を比較する。

解法1

**(1)**

まず、

$$ \log_{10}5=\log_{10}\left(\frac{10}{2}\right)=\log_{10}10-\log_{10}2 $$

より、

$$ \log_{10}5=1-0.301=0.699 $$

である。

次に、

$$ \log_{10}6=\log_{10}(2\cdot 3)=\log_{10}2+\log_{10}3 $$

より、

$$ \log_{10}6=0.301+0.477=0.778 $$

である。

さらに、

$$ \log_{10}8=\log_{10}(2^3)=3\log_{10}2 $$

より、

$$ \log_{10}8=3\times 0.301=0.903 $$

である。

**(2)**

$\log_{10}7$ が $\log_{10}6$ と $\log_{10}8$ のどちらに近いかを調べるには、

$$ \log_{10}7-\log_{10}6=\log_{10}\left(\frac{7}{6}\right), \qquad \log_{10}8-\log_{10}7=\log_{10}\left(\frac{8}{7}\right) $$

を比較すればよい。

ここで、

$$ \frac{7}{6}>\frac{8}{7} $$

である。実際、

$$ 7\cdot 7=49,\qquad 6\cdot 8=48 $$

より $49>48$ だから、

$$ \frac{7}{6}>\frac{8}{7} $$

が成り立つ。

対数関数は単調増加であるから、

$$ \log_{10}\left(\frac{7}{6}\right)>\log_{10}\left(\frac{8}{7}\right) $$

となる。したがって、

$$ \log_{10}7-\log_{10}6>\log_{10}8-\log_{10}7 $$

である。

これは、$\log_{10}7$ から $\log_{10}6$ までの距離の方が、$\log_{10}7$ から $\log_{10}8$ までの距離より大きいことを意味する。よって、$\log_{10}7$ は $\log_{10}8$ の方に近い。

解説

（1） は、$5=\dfrac{10}{2},\ 6=2\cdot 3,\ 8=2^3$ と見ればすぐに与えられた値へつながる典型問題である。

（2） では、数そのものの大小ではなく、対数値どうしの距離を比較する必要がある。そのため、差を

$$ \log_{10}7-\log_{10}6=\log_{10}\left(\frac{7}{6}\right),\qquad \log_{10}8-\log_{10}7=\log_{10}\left(\frac{8}{7}\right) $$

と変形して比の大小に帰着させるのが自然である。$\dfrac{7}{6}$ と $\dfrac{8}{7}$ の比較は、交差に掛けて $49$ と $48$ を比べればよい。

答え

**(1)**

$$ \log_{10}5=0.699,\qquad \log_{10}6=0.778,\qquad \log_{10}8=0.903 $$

**(2)**

$\log_{10}7$ は $\log_{10}8$ に近い。

証明は、

$$ \log_{10}7-\log_{10}6=\log_{10}\left(\frac{7}{6}\right),\qquad \log_{10}8-\log_{10}7=\log_{10}\left(\frac{8}{7}\right) $$

であり、

$$ \frac{7}{6}>\frac{8}{7} \quad (\because 49>48) $$

より、

$$ \log_{10}\left(\frac{7}{6}\right)>\log_{10}\left(\frac{8}{7}\right) $$

となるからである。