解説

方針・初手

$ p $ は $16$ 枚のカードの並べ方 $16!$ 通りのうち，ただ $1$ 通りだけが条件を満たすので

$$ p=\frac{1}{16!} $$

である。

また，$ q $ は $n$ 個のさいころがすべて $1$ になる確率だから

$$ q=\left(\frac{1}{6}\right)^n $$

である。

したがって，（1） では $16!$ の素因数分解をして常用対数を計算し，（2） では $q<p$ を対数で比較すればよい。

解法1

まず，

$$ p=\frac{1}{16!} $$

であるから，

$$ \log_{10}p=-\log_{10}(16!) $$

となる。

ここで $16!$ を素因数分解する。

$$ 16!=2^{15}\cdot 3^6\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13 $$

よって，

$$ \begin{aligned} \log_{10}(16!) &=15\log_{10}2+6\log_{10}3+3\log_{10}5+2\log_{10}7+\log_{10}11+\log_{10}13 \end{aligned} $$

である。

与えられた値の中には $\log_{10}5$ がないが，

$$ \log_{10}2+\log_{10}5=\log_{10}10=1 $$

より

$$ \log_{10}5=1-0.301=0.699 $$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} \log_{10}(16!) &=15\cdot 0.301+6\cdot 0.477+3\cdot 0.699+2\cdot 0.845+1.041+1.114 \\ &=4.515+2.862+2.097+1.690+1.041+1.114 \\ &=13.319 \end{aligned} $$

となるので，

$$ \log_{10}p=-13.319 $$

である。

次に，

$$ q=\left(\frac{1}{6}\right)^n $$

より，

$$ \log_{10}q=-n\log_{10}6 $$

である。

ここで，

$$ \log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.301+0.477=0.778 $$

だから，

$$ \log_{10}q=-0.778n $$

となる。

$q<p$ となる条件は，対数をとって

$$ \log_{10}q<\log_{10}p $$

すなわち

$$ -0.778n<-13.319 $$

である。これを解くと，

$$ 0.778n>13.319 $$

となるので，

$$ n>\frac{13.319}{0.778}\approx 17.12 $$

である。

したがって，これを満たす最小の整数 $n$ は

$$ n=18 $$

である。

解説

この問題の要点は，確率そのものを直接比べるのではなく，常用対数に直して比較することである。

（1） では $16!$ の素因数分解が必要であり，特に $\log_{10}5$ を $ \log_{10}10=1 $ から求めるのがポイントである。

（2） では $q=\left(\frac16\right)^n$ が指数の形なので，対数をとると $n$ についての一次不等式になり，最小の整数を求めやすくなる。

答え

**(1)**

$$ \log_{10}p=-13.319 $$

**(2)**

$$ n=18 $$