解説

方針・初手

銀行への返済額は複利の公式で求める。削減できる人件費は、初年度が $150$ 万円で毎年 $5%$ ずつ増える等比数列の和として表す。最後は、その人件費累計が返済額を上回る条件を不等式にして常用対数で処理する。

解法1

まず、工作機導入のために借りる金額は $300$ 万円であり、年利 $10%$ の複利で $5$ 年後に一括返済するから、返済総額は

$$ 300\times (1.1)^5 $$

万円である。

ここで

$$ (1.1)^5=1.61051 $$

より、返済総額は

$$ 300\times 1.61051=483.153 $$

万円となる。したがって円に直すと

$$ 483.153\times 10^4=4831530 $$

円である。よって **ソ** は $4831530$ である。

次に、導入後もアルバイト従業員を雇い続けたと仮定すると、削減できる人件費はその給与の累計である。

導入する年の年間給与は $150$ 万円であり、毎年初めに前年の給与の $5%$ だけ昇給するので、各年の給与は

$$ 150,\ 150\cdot 1.05,\ 150\cdot (1.05)^2,\ \cdots $$

となる。導入から $n$ 年後までに削減できる人件費 $f(n)$ は

$$ f(n)=150{1+1.05+(1.05)^2+\cdots +(1.05)^{n-1}} $$

である。

これは等比数列の和であるから、

$$ f(n)=150\cdot \frac{(1.05)^n-1}{1.05-1} $$

したがって

$$ f(n)=3000{(1.05)^n-1} $$

となる。よって **タ** は $3000$、**チ** は $1.05$、**ツ** は $n$ である。

次に、銀行への総返済額を $X$ 万円とすると、

$$ X=483.153 $$

であるから、投資効果が出る条件は

$$ f(n)>X $$

すなわち

$$ 3000{(1.05)^n-1}>483.153 $$

である。これを整理すると

$$ (1.05)^n>1+\frac{483.153}{3000}=1.161051 $$

となるので、**テ** は小数第 $2$ 位までで

$$ 1.16 $$

である。

さらに両辺の常用対数をとると

$$ n\log 1.05>\log 1.161051 $$

より

$$ n>\frac{\log 1.161051}{\log 1.05} $$

となる。これを計算すると

$$ n>3.060\cdots $$

であるから、**ト** は $3.06$ である。

したがってこの条件を満たす $n$ の最小の整数は

$$ 4 $$

である。よって **ナ** は $4$ である。

解説

この問題の本質は、返済額を複利計算で求め、人件費削減額を等比数列の和として表すことである。

特に注意すべき点は、借入れ・導入・雇用終了がいずれも年の初めに同時に行われることである。このため、導入した年の給与 $150$ 万円からそのまま削減対象に入る。

最後の不等式処理では、まず等比数列の形に整理してから対数をとるのが定石である。

答え

**(1)**

ソ $=4831530$

**(2)**

$$ f(n)=3000{(1.05)^n-1} $$

したがって、タ $=3000$、チ $=1.05$、ツ $=n$

**(3)**

テ $=1.16$、ト $=3.06$、ナ $=4$