解説

方針・初手

不等式の両辺に常用対数をとると、指数 $n$ についての一次不等式になる。

このとき

$$ \log_{10}\frac{5}{4}=\log_{10}5-\log_{10}4 $$

を $\log_{10}2$ で表せば、与えられた $0.301<\log_{10}2<0.3011$ をそのまま使える。

解法1

$,\log_{10}2=a,$ とおくと、条件より

$$ 0.301<a<0.3011 $$

である。

また

$$ \log_{10}5=1-a,\qquad \log_{10}4=2a $$

より

$$ \log_{10}\frac{5}{4}=(1-a)-2a=1-3a $$

となる。

したがって、与えられた不等式

$$ 2^{10}<\left(\frac{5}{4}\right)^n<2^{20} $$

の両辺に常用対数をとると

$$ 10a<n(1-3a)<20a $$

を得る。ここで $1-3a>0$ であるから、これを $1-3a$ で割って

$$ \frac{10a}{1-3a}<n<\frac{20a}{1-3a} $$

となる。

ここで関数

$$ f(a)=\frac{a}{1-3a} $$

は、$1-3a>0$ の範囲で増加するから、

$$ \frac{10\cdot 0.301}{1-3\cdot 0.301} <n< \frac{20\cdot 0.3011}{1-3\cdot 0.3011} $$

である。

左端は

$$ \frac{3.01}{0.097} =\frac{3010}{97} \approx 31.03 $$

右端は

$$ \frac{6.022}{0.0967} =\frac{6022}{96.7} \approx 62.27 $$

であるから、

$$ 31.03\cdots<n<62.27\cdots $$

よって自然数 $n$ は

$$ 32,33,\dots,62 $$

であり、その個数は

$$ 62-32+1=31 $$

個である。

解説

この問題の要点は、$\dfrac{5}{4}$ の対数を直接扱うのではなく、

$$ \log_{10}\frac{5}{4}=1-3\log_{10}2 $$

と変形して、与えられた $\log_{10}2$ の範囲を活用することである。

あとは対数をとって $n$ の範囲を求め、最後に自然数の個数を数えればよい。

答え

$31$ 個。