解説

方針・初手

$\sqrt[4]{6.48}$ の対数を先に求めると、**指数の比較が加法に変わる**ので扱いやすい。

まず $6.48$ を素因数分解し、与えられた $\log_{10}2,\log_{10}3$ を用いて $\log_{10}6.48$ を計算する。

解法1

$6.48=\dfrac{648}{100}$ であり、

$$ 648=2^3\cdot 3^4 $$

であるから、

$$ 6.48=\frac{2^3\cdot 3^4}{10^2} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \log_{10}6.48 &=\log_{10}(2^3\cdot 3^4)-\log_{10}10^2\\ &=3\log_{10}2+4\log_{10}3-2 \end{aligned} $$

である。与えられた値を代入すると、

$$ \begin{aligned} \log_{10}6.48 &=3\cdot 0.3010+4\cdot 0.4771-2\\ &=0.9030+1.9084-2\\ &=0.8114 \end{aligned} $$

よって、

$$ \log_{10}\sqrt[4]{6.48} =\frac{1}{4}\log_{10}6.48 =\frac{0.8114}{4} =0.20285 $$

したがって （1） の答えは

$$ \log_{10}\sqrt[4]{6.48}=0.20285 $$

である。

次に （2） を考える。 $a=\sqrt[4]{6.48}$ とおくと、求める条件は

$$ a^n>100 $$

である。両辺の常用対数をとると、

$$ n\log_{10}a>\log_{10}100=2 $$

となる。(1) より $\log_{10}a=0.20285$ なので、

$$ 0.20285,n>2 $$

すなわち、

$$ n>\frac{2}{0.20285}\approx 9.86 $$

となる。よって、これを満たす最小の正の整数は

$$ n=10 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\sqrt[4]{6.48}$ をそのまま近似計算するのではなく、**対数に直して指数を前に出す**ことである。

また、$6.48$ を

$$ 6.48=\frac{2^3\cdot 3^4}{10^2} $$

と見ると、与えられた $\log_{10}2,\log_{10}3$ だけで計算できる。 （2） では不等式を対数に移して一次不等式にするのが典型処理である。

答え

**(1)**

$$ \log_{10}\sqrt[4]{6.48}=0.20285 $$

**(2)**

$$ n=10 $$