解説

方針・初手

正六角形は，中心から各頂点を結ぶと合同な正三角形6個に分けられる。したがって，まず面積 $S_0$ は正三角形の面積を用いて求めるのが最も自然である。

また，各辺の中点を結んでできる図形も正六角形であり，その1辺の長さを調べれば面積比が求まる。最後はその面積比が毎回一定であることから等比数列として処理する。

解法1

（1） 1辺の長さが $a$ である正六角形を考える。

正六角形の中心と各頂点を結ぶと，1辺の長さが $a$ の正三角形6個に分かれる。正三角形1個の面積は

$$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $$

であるから，

$$ S_0=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 $$

となる。

（2） 正六角形の頂点を順に $A,B,C,D,E,F$ とし，$AB,BC$ の中点をそれぞれ $M,N$ とする。

このとき，求める新しい正六角形の1辺は $MN$ である。三角形 $ABC$ で $M,N$ はそれぞれ $AB,BC$ の中点なので，中点連結定理より

$$ MN=\frac{1}{2}AC $$

である。

そこで $AC$ を求める。正六角形の内角は $120^\circ$ だから，三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると

$$ \begin{aligned} AC^2 &=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos120^\circ \\ &=a^2+a^2-2a^2\left(-\frac{1}{2}\right) \\ &=3a^2 \end{aligned} $$

より，

$$ AC=\sqrt{3},a $$

したがって，

$$ MN=\frac{\sqrt{3}}{2}a $$

である。よって，新しい正六角形の面積 $S_1$ は

$$ S_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3}{4}a^2 =\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2 $$

となる。

なお，

$$ S_1=\frac{3}{4}S_0 $$

でもある。

（3） 各回の操作で，正六角形の面積は毎回 $\dfrac{3}{4}$ 倍になる。したがって

$$ S_n=S_0\left(\frac{3}{4}\right)^n $$

である。

これが $S_0$ の $\dfrac{1}{18}$ 以下になる条件は

$$ S_0\left(\frac{3}{4}\right)^n \le \frac{1}{18}S_0 $$

すなわち

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^n \le \frac{1}{18} $$

である。

常用対数をとると，

$$ n\log_{10}\frac{3}{4}\le \log_{10}\frac{1}{18} $$

ここで

$$ \log_{10}\frac{3}{4}=\log_{10}3-\log_{10}4 =0.477-2\cdot 0.301 =-0.125 $$

また，

$$ \log_{10}\frac{1}{18}=-\log_{10}18 =-(\log_{10}2+2\log_{10}3) =-(0.301+2\cdot 0.477) =-1.255 $$

であるから，

$$ -0.125,n\le -1.255 $$

となる。両辺を負の数 $-0.125$ で割ると不等号が逆になって

$$ n\ge \frac{1.255}{0.125}=10.04 $$

よって，条件を満たす最小の整数は

$$ n=11 $$

である。

解説

この問題の要点は，正六角形を正三角形6個に分ける見方と，中点を結んでできる正六角形の辺の長さを求めることである。

（2） では，新しい正六角形の面積を直接追うよりも，まずその1辺の長さを求め，正六角形の面積公式に戻す方が確実である。さらに，面積比が毎回一定であると分かれば，（3） は等比数列と対数計算の問題になる。

答え

**(1)**

$$ S_0=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 $$

**(2)**

$$ S_1=\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2 $$

**(3)**

$$ n=11 $$