解説

方針・初手

1回ろ過するごとに，不純物は直前の量の $80%$ に減ると考える。したがって，不純物の量は等比的に減少するので，$n$ 回後の量を等比数列で表し，（2） では「$95%$ 以上除去する」という条件を「残りが $5%$ 以下」と言い換えて対数で処理する。

解法1

もとの不純物の量を $A$ とする。

1回ろ過すると，不純物は $20%$ 除去されるから，残る不純物は

$$ A\times (1-0.2)=0.8A $$

である。

同様に，2回ろ過すると

$$ A\times (0.8)^2 $$

3回ろ過すると

$$ A\times (0.8)^3 $$

となるので，$n$ 回ろ過したときの不純物の量は

$$ A(0.8)^n $$

である。

したがって，もとの不純物に対する割合は

$$ (0.8)^n\times 100=100\left(\frac45\right)^n $$

より，

**(1)**

$100\left(\dfrac45\right)^n%$

である。

次に，不純物の $95%$ 以上を除去するには，残る不純物がもとの $5%$ 以下であればよいから，

$$ 100\left(\frac45\right)^n \le 5 $$

すなわち

$$ \left(\frac45\right)^n \le \frac1{20} $$

である。

ここで常用対数をとると，

$$ n\log_{10}\frac45 \le \log_{10}\frac1{20} $$

となる。

まず，

$$ \log_{10}\frac45=\log_{10}4-\log_{10}5 $$

であり，

$$ \log_{10}4=2\log_{10}2=2\times 0.3010=0.6020 $$

また，

$$ \log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}=1-\log_{10}2=1-0.3010=0.6990 $$

だから，

$$ \log_{10}\frac45=0.6020-0.6990=-0.0970 $$

である。

さらに，

$$ \log_{10}\frac1{20}=-\log_{10}20=-(1+\log_{10}2)=-(1+0.3010)=-1.3010 $$

であるから，

$$ -0.0970,n \le -1.3010 $$

となる。負の数で割ると不等号の向きが逆になるので，

$$ n \ge \frac{1.3010}{0.0970} \approx 13.4 $$

である。

よって，これを満たす最小の整数は

$$ n=14 $$

である。

したがって，

**(2)**

$14$ 回

である。

解説

この問題の本質は，「毎回 $20%$ 減る」という状況が，加法的ではなく乗法的に進む点にある。そのため，$n$ 回後の量は $0.8n$ ではなく $(0.8)^n$ で表される。

また，（2） では「$95%$ 以上除去」という表現をそのまま扱うよりも，「残りが $5%$ 以下」と直すと立式しやすい。回数を求めるときは指数不等式になるので，対数を用いるのが基本である。

答え

**(1)**

$100\left(\dfrac45\right)^n%$

**(2)**

$14$ 回