解説

方針・初手

与えられた不等式は $\log_{10} 8^n$ に関するものであるから、まず

$$ \log_{10} 8^n=n\log_{10}8 $$

と変形して $n$ を求める。

その後、$\log_{10} 8^n$ の整数部分から桁数を決め、小数部分から最高位の数字を決める。一の位の数字は $8$ の累乗の周期性を用いて求める。

解法1

まず、

$$ \log_{10}8=\log_{10}2^3=3\log_{10}2=3\times 0.3010=0.9030 $$

である。

したがって、条件

$$ 38\leqq \log_{10}8^n<39 $$

は

$$ 38\leqq 0.9030n<39 $$

となる。

これを $0.9030$ で割ると、

$$ \frac{38}{0.9030}\leqq n<\frac{39}{0.9030} $$

である。

実際に確かめると、

$$ 0.9030\times 42=37.926 $$

$$ 0.9030\times 43=38.829 $$

であるから、条件を満たす自然数は

$$ n=43 $$

である。

次に、$38\leqq \log_{10}8^{43}<39$ であるから、

$$ 10^{38}\leqq 8^{43}<10^{39} $$

となる。よって $8^{43}$ は $39$ 桁の自然数である。

したがって、[ア] は $39$、[イ] は $43$ である。

次に、一の位の数字を調べる。

$8$ の累乗の一の位は

$$ 8,\ 4,\ 2,\ 6 $$

の周期 $4$ で繰り返す。

ここで、

$$ 43\equiv 3\pmod 4 $$

であるから、$8^{43}$ の一の位は $8^3$ の一の位と同じであり、

$$ 8^3=512 $$

より一の位は $2$ である。したがって、[ウ] は $2$ である。

最後に、最高位の数字を調べる。

$$ \log_{10}8^{43}=43\times 0.9030=38.829 $$

だから、

$$ 8^{43}=10^{38.829}=10^{0.829}\times 10^{38} $$

となる。よって、最高位の数字は $10^{0.829}$ の整数部分で決まる。

ここで、

$$ \log_{10}6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.3010+0.4771=0.7781 $$

であり、また $\log_{10}7=0.8451$ であるから、

$$ 0.7781<0.829<0.8451 $$

となる。したがって、

$$ 6<10^{0.829}<7 $$

である。

よって、$8^{43}$ の最高位の数字は $6$ である。したがって、[エ] は $6$ である。

解説

桁数は $\log_{10}N$ の整数部分を見れば判定できる。一般に、

$$ k\leqq \log_{10}N<k+1 $$

ならば $N$ は $k+1$ 桁である。

また、最高位の数字は $\log_{10}N$ の小数部分から決まる。今回は

$$ \log_{10}8^{43}=38.829 $$

であり、小数部分 $0.829$ に注目して

$$ 10^{0.829} $$

が $6$ 以上 $7$ 未満であることを示せばよい。一の位は累乗の周期で処理するのが基本である。

答え

[ア] $39$

[イ] $43$

[ウ] $2$

[エ] $6$