解説

方針・初手

漸化式

$$ a_{n+1}=2a_n-1 $$

は、そのままでは定数項 $-1$ が邪魔で扱いにくい。そこで $1$ を引いて

$$ a_n-1 $$

に注目すると、等比数列に直せる。

その一般項を求めたあと、不等式

$$ a_n^2-2a_n>10^{15} $$

を $2$ のべきの不等式に直し、常用対数で指数の大きさを判定する。

解法1

まず

$$ b_n=a_n-1 $$

とおく。

すると

$$ b_{n+1}=a_{n+1}-1=(2a_n-1)-1=2a_n-2=2(a_n-1)=2b_n $$

となる。また

$$ b_1=a_1-1=2-1=1 $$

であるから、${b_n}$ は初項 $1$、公比 $2$ の等比数列である。

したがって

$$ b_n=2^{n-1} $$

より、

$$ a_n=b_n+1=2^{n-1}+1 $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。

一般項を用いると

$$ a_n^2-2a_n=(2^{n-1}+1)^2-2(2^{n-1}+1) $$

$$ =2^{2n-2}+2^n+1-2^n-2 $$

$$ =2^{2n-2}-1 $$

となる。

よって求める不等式は

$$ 2^{2n-2}-1>10^{15} $$

すなわち

$$ 2^{2n-2}>10^{15}+1 $$

である。

ここで $10^{15}<10^{15}+1<10^{16}$ であるから、

$$ 15<\log_{10}(10^{15}+1)<16 $$

が成り立つ。両辺の常用対数をとると

$$ (2n-2)\log_{10}2>\log_{10}(10^{15}+1)>15 $$

より

$$ 2n-2>\frac{15}{\log_{10}2} $$

である。

与えられた

$$ 0.3010<\log_{10}2<0.3011 $$

を用いると

$$ \frac{15}{0.3011}<\frac{15}{\log_{10}2}<\frac{15}{0.3010} $$

であるから、

$$ 49.8\cdots<\frac{15}{\log_{10}2}<49.9\cdots $$

となり、

$$ 2n-2>49.8\cdots $$

を満たす最小の整数は $50$ である。

したがって

$$ 2n-2=50 $$

より

$$ n=26 $$

が最小である。

解説

この問題の要点は、漸化式

$$ a_{n+1}=2a_n-1 $$

をそのまま扱わず、$a_n-1$ に着目して等比数列へ変形することである。一次の漸化式

$$ a_{n+1}=pa_n+q $$

では、定数解を意識して平行移動するのが典型手法である。

また （2） では、一般項を代入したあとに

$$ a_n^2-2a_n=(a_n-1)^2-1 $$

と見れば計算がすっきりする。最後は $2$ のべきと $10^{15}$ の比較なので、常用対数で指数に直すのが自然である。

答え

**(1)**

$$ a_n=2^{n-1}+1 $$

**(2)**

不等式

$$ a_n^2-2a_n>10^{15} $$

を満たす最小の自然数 $n$ は

$$ n=26 $$