解説

方針・初手

桁数は常用対数で判定する。

正の整数 $N$ が $m$ 桁であることと

$$ m-1 \leqq \log_{10} N < m $$

とは同値である。

したがって，$2$ のべきや $5$ のべきが何桁かを，$\log_{10}2$ の評価から調べればよい。

解法1

**(1)**

$2$ 以外の素因数を持たない自然数は

$$ 1,\ 2,\ 2^2,\ 2^3,\ \dots $$

すなわち $2^n\ (n\geqq 0)$ の形である。

これが $100$ 桁以下である条件は

$$ 2^n<10^{100} $$

すなわち

$$ n\log_{10}2<100 $$

である。

ここで

$$ 332\log_{10}2<332\times 0.3011=99.9652<100 $$

より，$2^{332}$ は $100$ 桁以下である。

一方，

$$ 333\log_{10}2>333\times 0.3010=100.233>100 $$

より，$2^{333}$ は $101$ 桁以上である。

したがって条件を満たすのは

$$ 2^0,2^1,\dots,2^{332} $$

の $333$ 個である。

**(2)**

$2$ と $5$ 以外の素因数を持たない自然数は $2^a5^b\ (a,b\geqq 0)$ の形である。

ここで $t=\min(a,b)$ とおくと，

$$ 2^a5^b=10^t\cdot M $$

と表せ，$M$ は

• $1$
• $2$ のべき
• $5$ のべき

のいずれかであり，しかも $10$ では割れない。

逆に，このような $M$ に対して $10^tM$ は確かに素因数が $2,5$ のみである。

したがって，$100$ 桁の数を作るには，まず $M$ を選び，その桁数を $d$ とすると $t=100-d$ と一意に定まる。よって求める個数は，

• $100$ 桁以下の $2$ のべきの個数
• $100$ 桁以下の正の $5$ のべきの個数

を足し，ただし $1$ を重複して数えないようにすればよい。

まず，$100$ 桁以下の $2$ のべきは （1） より $333$ 個である。

次に $5$ について調べる。$\log_{10}5=1-\log_{10}2$ だから，

$$ 0.6989<\log_{10}5<0.6990 $$

である。

そこで，

$$ 143\log_{10}5<143\times 0.6990=99.957<100 $$

より，$5^{143}$ は $100$ 桁以下である。

また，

$$ 144\log_{10}5>144\times 0.6989=100.6416>100 $$

より，$5^{144}$ は $101$ 桁以上である。

したがって，$100$ 桁以下の $5$ のべきは

$$ 5^0,5^1,\dots,5^{143} $$

の $144$ 個であり，このうち $5^0=1$ はすでに $2^0=1$ として数えている。

よって求める個数は

$$ 333+(144-1)=476 $$

個である。

解説

この問題の核心は，「桁数」を対数で判定することと，「素因数が $2,5$ のみ」という条件を $10$ のべきで整理することである。

（1） は単純に $2^n$ の範囲判定である。

（2） は $2^a5^b$ をそのまま数えようとすると煩雑になるが，$10^t$ をくくり出して「末尾の $0$ を除いた部分」が $1$，$2$ のべき，$5$ のべきのいずれかになると見ると，一気に整理できる。

答え

**(1)**

$333$ 個

**(2)**

$476$ 個