解説

方針・初手

桁数は常用対数を用いて求めるのが基本である。

$N$ が正の整数のとき、$N$ の桁数は

$$ \lfloor \log_{10} N \rfloor + 1 $$

で与えられる。したがって、まず $6400^{50}$ の常用対数を求める。

解法1

$$ 6400=64\times 100=2^6\times 10^2 $$

より、

$$ 6400^{50}=(2^6\times 10^2)^{50}=2^{300}\times 10^{100} $$

となる。

ここで

$$ \log_{10}(6400^{50}) =\log_{10}(2^{300}\times 10^{100}) =\log_{10}2^{300}+\log_{10}10^{100} $$

であるから、

$$ \log_{10}(6400^{50}) =300\log_{10}2+100 $$

与えられた $\log_{10}2=0.3010$ を用いると、

$$ \log_{10}(6400^{50}) =300\times 0.3010+100 =90.3+100 =190.3 $$

したがって、

$$ 190<\log_{10}(6400^{50})<191 $$

であるので、

$$ 10^{190}<6400^{50}<10^{191} $$

となる。よって $6400^{50}$ は $191$ 桁の数である。

解説

桁数を求める問題では、数そのものを計算するのではなく、常用対数で大きさを調べるのが基本である。

特に、正の整数 $N$ について

$$ 10^m \leqq N < 10^{m+1} $$

ならば、$N$ は $m+1$ 桁である。今回は $\log_{10}(6400^{50})=190.3$ となったので、$6400^{50}$ は $10^{190}$ 以上 $10^{191}$ 未満であり、$191$ 桁と分かる。

答え

$6400^{50}$ は $191$ 桁の数である。