解説

方針・初手

$x=\log_2 3$ とおくと、$2^x=3$ である。

小数第1位を求めるには、$x$ が $1.5$ 以上 $1.6$ 未満であることを示せばよい。そこで $2^{1.5}$ と $2^{1.6}$ を $3$ と比較する。

解法1

$x=\log_2 3$ とおくと、

$$ 2^x=3 $$

である。

まず、

$$ 2^{1.5}=2^{\frac32}=2\sqrt{2} $$

であり、$2\sqrt{2}<3$ だから

$$ 2^x=3>2^{1.5} $$

となる。底 $2$ は $1$ より大きいので、指数関数は単調増加である。したがって

$$ x>1.5 $$

次に、$1.6=\dfrac85$ であるから、

$$ 2^{1.6}=2^{\frac85} $$

を $3$ と比較するために、両辺を $5$ 乗して考える。

$$ \left(2^{\frac85}\right)^5=2^8=256,\qquad 3^5=243 $$

より、

$$ 2^{\frac85}>3 $$

したがって

$$ 2^{1.6}>2^x $$

であるから、再び単調増加性より

$$ x<1.6 $$

以上から

$$ 1.5<x<1.6 $$

となるので、$\log_2 3$ の小数第1位は $5$ である。

解説

対数の小数第1位は、値そのものを細かく求めなくても、どの $0.1$ 区間に入るかを判定すればよい。

この問題では $\log_2 3=x$ を $2^x=3$ に直して、$2^{1.5}$ と $2^{1.6}$ を比較するのが自然である。特に $1.6=\dfrac85$ として $5$ 乗すると、整数どうしの比較 $2^8$ と $3^5$ に帰着できるのが要点である。

答え

[ア] $=5$