解説

方針・初手

$n$ 桁の正の整数 $N$ は

$$ 10^{n-1} \leqq N < 10^n $$

を満たす。したがって，$5^m$ が $11$ 桁である条件を対数で表し，まず $m$ を求める。その後，同様にして $8^m$ の桁数を求める。

解法1

$5^m$ が $11$ 桁の整数であるから，

$$ 10^{10} \leqq 5^m < 10^{11} $$

である。両辺の常用対数をとると，

$$ 10 \leqq m \log_{10} 5 < 11 $$

となる。

ここで，

$$ \log_{10} 5=\log_{10} \frac{10}{2}=1-\log_{10} 2=1-0.3010=0.6990 $$

より，

$$ 10 \leqq 0.6990m < 11 $$

である。したがって，

$$ \frac{10}{0.6990} \leqq m < \frac{11}{0.6990} $$

すなわち，

$$ 14.3\cdots \leqq m < 15.7\cdots $$

となるので，整数 $m$ は

$$ m=15 $$

である。

次に，$8^m=8^{15}$ の桁数を求める。

$$ \log_{10} 8=3\log_{10} 2=3\times 0.3010=0.9030 $$

より，

$$ \log_{10} (8^{15})=15\log_{10} 8=15\times 0.9030=13.545 $$

である。したがって，

$$ 13<\log_{10}(8^{15})<14 $$

より，

$$ 10^{13}<8^{15}<10^{14} $$

となるから，$8^{15}$ は $14$ 桁の整数である。

解説

桁数の問題では，「$n$ 桁 $\Longleftrightarrow 10^{n-1} \leqq N < 10^n$」に直してから対数をとるのが基本である。

また，$\log_{10}5$ を直接使わず，

$$ \log_{10}5=1-\log_{10}2 $$

とするのがこの問題の要点である。与えられた $\log_{10}2=0.3010$ を使えば，必要な値はすべて求まる。

答え

$$ \boxed{\text{[ア]}=15,\ \text{[イ]}=14} $$