解説

方針・初手

$ \dfrac{2^{100}}{7} $ の桁数と最高位は常用対数で調べる。

また、小数第1位と1の位は、$2^{100}$ を $7$ で割った余り、および合同式を用いて求める。

解法1

まず、$ \dfrac{2^{100}}{7} $ の大きさを調べる。

$$ \log_{10}\left(\frac{2^{100}}{7}\right) =100\log_{10}2-\log_{10}7 =100\cdot 0.3010-0.8451 =29.2549 $$

したがって、

$$ 10^{29}<\frac{2^{100}}{7}<10^{30} $$

であるから、整数部分は $30$ 桁である。

さらに、

$$ \frac{2^{100}}{7}=10^{29.2549}=10^{0.2549}\cdot 10^{29} $$

であり、$0<0.2549<\log_{10}2=0.3010$ だから、

$$ 1<10^{0.2549}<2 $$

となる。よって、

$$ 10^{29}<\frac{2^{100}}{7}<2\times 10^{29} $$

であるから、最高位の数は $1$ である。

次に、小数第1位を求める。$2^{100}$ を $7$ で割った余りを考える。

$$ 2^3=8\equiv 1 \pmod{7} $$

より、$100\equiv 1\pmod{3}$ であることから、

$$ 2^{100}\equiv 2 \pmod{7} $$

したがって、

$$ 2^{100}=7q+2 $$

と書けるので、

$$ \frac{2^{100}}{7}=q+\frac{2}{7} $$

である。ここで、

$$ \frac{2}{7}=0.\overline{285714} $$

だから、小数第1位は $2$ である。

最後に、1の位を求める。上の

$$ q=\frac{2^{100}-2}{7} $$

の1の位を調べればよい。

$2^n$ を $70$ で割った余りをみると、

$$ 2,4,8,16,32,64,58,46,22,44,18,36,2,\dots $$

と循環し、周期は $12$ である。$100\equiv 4\pmod{12}$ より、

$$ 2^{100}\equiv 2^4=16 \pmod{70} $$

したがって、

$$ 7q+2\equiv 16 \pmod{70} $$

より、

$$ 7q\equiv 14 \pmod{70} $$

となるので、

$$ q\equiv 2 \pmod{10} $$

である。よって、1の位は $2$ である。

解説

桁数は常用対数を使って決めるのが基本である。今回は対数値が $29.2549$ となるので、整数部分は $30$ 桁と分かる。

最高位の数は、$10^{0.2549}$ が $1$ 以上 $2$ 未満であることを見れば判定できる。

また、小数部分は割り算の余りから決まり、1の位は合同式を用いて直接調べると処理しやすい。

答え

整数部分は $30$ 桁、最高位の数は $1$、小数第1位は $2$、1の位は $2$ である。