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数学2 指数対数「桁数の問題」の問題5 解説

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数学2指数対数桁数の問題問題5

解説

正の整数 $N$ の桁数は、$\log_{10} N$ を用いて求められる。

すなわち、

$$ 10^{n-1} \leqq N < 10^n $$

のとき、$N$ は $n$ 桁である。したがって、まず $3^{100}$ の常用対数を求める。

与えられた条件より、

$$ \log_{10} 3 = 0.4771 $$

であるから、

$$ \log_{10} 3^{100} = 100 \log_{10} 3 = 100 \times 0.4771 = 47.71 $$

よって、

$$ 3^{100} = 10^{47.71} $$

であり、

$$ 10^{47} < 3^{100} < 10^{48} $$

が成り立つ。

したがって、$3^{100}$ は $48$ 桁の整数である。

正の整数 $N$ が $n$ 桁である条件は

$$ 10^{n-1} \leqq N < 10^n $$

である。これを対数で見ると、

$$ n-1 \leqq \log_{10} N < n $$

となるので、桁数は

$$ \lfloor \log_{10} N \rfloor + 1 $$

で求められる。

この問題では $\log_{10} 3^{100} = 47.71$ であるから、

$$ \lfloor 47.71 \rfloor + 1 = 47 + 1 = 48 $$

と判断できる。

$48$ 桁である。