解説

方針・初手

$\log_{10}6$ が与えられているので、$3.6$ を $6$ を用いて表し、対数の性質で $\log_{10}3.6$ を求める。

また、整数の桁数は常用対数を用いて判定できるので、$6^n$ が $23$ 桁となる条件を不等式に直して $n$ を決める。

解法1

まず、$3.6=\dfrac{36}{10}=\dfrac{6^2}{10}$ であるから、

$$ \log_{10}3.6=\log_{10}\left(\frac{6^2}{10}\right) =\log_{10}6^2-\log_{10}10 =2\log_{10}6-1 $$

となる。

したがって、

$$ \log_{10}3.6=2\times 0.7782-1=1.5564-1=0.5564 $$

よって、

$$ \log_{10}3.6=0.5564 $$

次に、正の整数 $N$ が $23$ 桁であるための条件は

$$ 10^{22}\leqq N<10^{23} $$

である。

ここで $N=6^n$ とすると、

$$ 10^{22}\leqq 6^n<10^{23} $$

両辺の常用対数をとって、

$$ 22\leqq \log_{10}6^n<23 $$

すなわち、

$$ 22\leqq n\log_{10}6<23 $$

与えられた $\log_{10}6=0.7782$ を用いると、

$$ 22\leqq 0.7782n<23 $$

これを $0.7782$ で割ると、

$$ \frac{22}{0.7782}\leqq n<\frac{23}{0.7782} $$

ここで、

$$ 28.27\cdots \leqq n<29.55\cdots $$

となるので、これを満たす自然数 $n$ は

$$ n=29 $$

のみである。

解説

$\log_{10}3.6$ は、与えられた $\log_{10}6$ をそのまま使える形に式を変形するのが基本である。$3.6=\dfrac{6^2}{10}$ と見るのが自然である。

また、桁数の問題では「$m$ 桁であること」と「$10^{m-1}\leqq N<10^m$」を結びつけることが重要である。そこから常用対数に直せば、指数 $n$ の範囲を不等式で処理できる。

答え

$\log_{10}3.6=0.5564$ である。

また、$6^n$ が $23$ 桁の整数となるような自然数 $n$ は

$$ n=29 $$

である。