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数学2 指数対数「桁数の問題」の問題7 解説

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数学2指数対数桁数の問題問題7

解説

桁数や小数で最初に $0$ でない数字が現れる位置は、常用対数を用いてその数が $10$ の何乗の間にあるかを調べればよい。

まず、$6^{30}$ の桁数を求める。

$$ \log_{10} 6=\log_{10}2+\log_{10}3=0.3010+0.4771=0.7781 $$

したがって、

$$ \log_{10} 6^{30}=30\log_{10}6=30\times 0.7781=23.343 $$

ゆえに

$$ 10^{23}<6^{30}<10^{24} $$

となるから、$6^{30}$ は $24$ 桁の整数である。

よって、

$$ \boxed{\text{[ア]}=24} $$

次に、$\left(\dfrac{1}{18}\right)^{20}$ を考える。

$$ \log_{10}18=\log_{10}2+2\log_{10}3=0.3010+2\times 0.4771=1.2552 $$

したがって、

$$ \log_{10}\left(\frac{1}{18}\right)^{20} =-20\log_{10}18 =-20\times 1.2552 =-25.104 $$

よって、

$$ 10^{-26}<\left(\frac{1}{18}\right)^{20}<10^{-25} $$

である。

一般に、$10^{-n}<x<10^{-(n-1)}$ ならば、$x$ を小数で表したとき、初めて $0$ でない数字が現れるのは小数第 $n$ 位である。

したがって、$\left(\dfrac{1}{18}\right)^{20}$ では初めて $0$ でない数字が現れるのは小数第 $26$ 位である。

よって、

$$ \boxed{\text{[イ]}=26} $$

桁数の問題では、$10^n$ との大小比較に直すのが基本である。常用対数を使うと、べきの形でも指数を前に出せるので処理しやすい。

また、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるかも、結局はその数が $10^{-25}$ と $10^{-26}$ のどちらの側にあるかを見れば判定できる。

$$ \text{[ア]}=24,\qquad \text{[イ]}=26 $$